Question

設2009x³=2010y³=2011z³（xyz＞0），且

3	2009x2+2010y2+2011z2

=

3	2009

+

3	2010

+

3	2011

，求

1

x

+

1

y

+

1

z

的值．

Answer 1

考點：有理數無理數的概念與運算

專題：

分析：根據已知分別表示出

3	2009x2+2010y2+2011z2

=

3	k3 x + k3 y + k3 z

=k×

3	1 x + 1 y + 1 z

，

3	2009

+

3	2010

+

3	2011

=

3	k3 x3

+

3	k3 y3

+

3	k3 z3

=k（

1

x

+

1

y

+

1

z

），進而得出答案．

解答：解：設2009x³=2010y³=2011z³=k³，
則2009x²=

k3

x

，2010y²=

k3

y

，2011z²=

k3

z

，
故

3	2009x2+2010y2+2011z2

=

3	k3 x + k3 y + k3 z

=k×

3	1 x + 1 y + 1 z

，

3	2009

+

3	2010

+

3	2011

=

3	k3 x3

+

3	k3 y3

+

3	k3 z3

=k（

1

x

+

1

y

+

1

z

）
則

3	1 x + 1 y + 1 z

=

1

x

+

1

y

+

1

z

，
又xyz＞0，
故

1

x

+

1

y

+

1

z

=1．

點評：此題主要考查了有理數無理數的概念與運算，正確將原式變形得出

3	1 x + 1 y + 1 z

=

1

x

+

1

y

+

1

z

是解題關鍵．