Question

7．如圖，AB為半圓O的直徑，C為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CD切半圓O于點(diǎn)D，連接OD．作BE⊥CD于點(diǎn)E，交半圓O于點(diǎn)F．已知CE=12，BE=9．
（1）求證：△COD∽△CBE．
（2）求半圓O的半徑r的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由切線的性質(zhì)和垂直的定義得出∠E=90°=∠CDO，再由∠C=∠C，得出△COD∽△CBE．
（2）由勾股定理求出BC=$\sqrt{C{E}^{2}+B{E}^{2}}$=15，由相似三角形的性質(zhì)得出比例式，即可得出答案．

解答 （1）證明：∵CD切半圓O于點(diǎn)D，
∴CD⊥OD，
∴∠CDO=90°，
∵BE⊥CD，
∴∠E=90°=∠CDO，
又∵∠C=∠C，
∴△COD∽△CBE．
（2）解：在Rt△BEC中，CE=12，BE=9，
∴BC=$\sqrt{C{E}^{2}+B{E}^{2}}$=15，
∵△COD∽△CBE．
∴$\frac{OD}{BE}=\frac{OC}{BC}$，即$\frac{r}{9}=\frac{15-r}{15}$，
解得：r=$\frac{45}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．