Question

【題目】已知如圖1，在中，，，點(diǎn)在上，交于，點(diǎn)是的中點(diǎn)．

（1）寫(xiě)出線(xiàn)段與線(xiàn)段的關(guān)系并證明；

（2）如圖2，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其它條件不變，線(xiàn)段與線(xiàn)段的關(guān)系是否變化，寫(xiě)出你的結(jié)論并證明；

（3）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，如果，，直接寫(xiě)出線(xiàn)段的范圍．

　　　　

Answer 1

【答案】（1），，證明見(jiàn)解析；（2）結(jié)論不變，理由見(jiàn)解析；（3）最大值 最小值．

【解析】

（1）在Rt△ADF中，可得DE=AE=EF，在Rt△ABF中，可得BE=EF=EA，得證ED=EB；然后利用等腰三角形的性質(zhì)以及四邊形ADFB的內(nèi)角和為180°，可推導(dǎo)得出∠DEB=90°；

（2）如下圖，先證四邊形MFBA是平行四邊形，再證△DCB≌△DFM，從而推導(dǎo)出△DMB是等腰直角三角形，最后得出結(jié)論；

（3）如下圖，當(dāng)點(diǎn)F在AC上時(shí)，CE有最大值；當(dāng)點(diǎn)F在AC延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，CE有最小值．

（1）∵DF⊥AC，點(diǎn)E是AF的中點(diǎn)

∴DE=AE=EF，∠EDF=∠DFE

∵∠ABC=90°，點(diǎn)E是AF的中點(diǎn)

∴BE=AE=EF，∠EFB=∠EBF

∴DE=EB

∵AB=BC，

∴∠DAB=45°

∴在四邊形ABFD中，∠DFB=360°－90°－45°－90°=135°

∠DEB=∠DEF+∠FEB=180°－2∠EFD+180°－2∠EFB=360°－2(∠EFD+∠EFB)

=360°－2×135°=90°

∴DE⊥EB

（2）如下圖，延長(zhǎng)BE至點(diǎn)M處，使得ME=EB，連接MA、ME、MF、MD、FB、DB，延長(zhǎng)MF交CB于點(diǎn)H

∵ME=EB，點(diǎn)E是AF的中點(diǎn)

∴四邊形MFBA是平行四邊形

∴MF∥AB，MF=AB

∴∠MHB=180°－∠ABC=90°

∵∠DCA=∠FCB=

∴∠DCB=45°+，∠CFH=90°－

∵∠DCF=45°，∠CDF=90°

∴∠DFC=45°，△DCF是等腰直角三角形

∴∠DFM=180°－∠DFC－∠CFH=45°+

∴∠DCB=∠DFM

∵△ABC和△CDF都是等腰直角三角形

∴DC=DF，BC=AB=MF

∴△DCB≌△DFM(SAS)

∴∠MDF=∠BDC，DB=DM

∴∠MDF+∠FDB=∠BDC+∠FDB=90°

∴△DMB是等腰直角三角形

∵點(diǎn)E是MB的中點(diǎn)

∴DE=EB，DE⊥EB

（3）當(dāng)點(diǎn)F在AC上時(shí)，CF有最大值，圖形如下：

∵BC=6，∴在等腰直角△ABC中，AC=6

∵CF=3，∴AF=3

∴CE=CF+FE=CF+

當(dāng)點(diǎn)F在AC延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，CE有最小值，圖形如下：

同理，CE=EF－CF