Question

9．觀察下列每對數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點間的距離：4與7，3與-5，-2與-5，0與-3
回答下列各題：
（1）若數(shù)軸上的點A表示的數(shù)為x，點B表示的數(shù)為-1，則A與B兩點間的距離可以表示為|x+1|；
（2）化簡|x-2|+|x+1|；
（3）結(jié)合數(shù)軸求得|x-1|+|x+1|的最小值為0，取得最小值時x的取值范圍為-1≤x＜1；
（4）滿足|x-2|+|x+1|≥5的取值范圍為x≤-3或x≥3；
（5）在探究題目的過程中，蘊含的數(shù)學(xué)思想方法有分類討論思想（填一個即可）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)有理數(shù)的減法法則得出即可；
（2）分為x為有理數(shù)，所以要分類討論x-2與x+1的正負(fù)，再去掉絕對值符號再計算；
（3）分為x為有理數(shù)，所以要分類討論x-1與x+1的正負(fù)，再去掉絕對值符號再計算；
（4）分為x為有理數(shù)，所以要分類討論x-2與x+1的正負(fù)，再去掉絕對值符號再計算；
（5）分類討論思想．

解答 解：（1）若數(shù)軸上的點A表示的數(shù)為x，點B表示的數(shù)為-1，則A與B兩點間的距離可以表示為|x+1|，
故答案為：|x+1|；

（2）當(dāng)x＜-1時，
∵此時x-2＜0，x+1＜0，
∴|x-2|+|x+1|=-（x-2）-（x+1）=-2x+1；
②當(dāng)-1≤x＜2時，
∵此時x-2＜0，x+1≥0，
∴|x-2|+|x+1|=-（x-2）+（x+1）=3；
③當(dāng)x≥2時，
∵此時x-2≥0，x+1＞0，
∴|x-2|+|x+1|=（x-2）+（x+1）=2x-1；

（3）因為x為有理數(shù)，就是說x可以為正數(shù)，也可以為負(fù)數(shù)，也可以為0，所以要分情況討論．
①當(dāng)x＜-1時，x-1＞0，x+1＜0，所以|x-1|+|x+1|=-（x-1）-（x+1）=-2x；
②當(dāng)-1≤x＜1時，x-1＜0，x+1≥0，所以|x-1|+|x+1|=（x-1）+（x+1）=2x；
③當(dāng)x≥1時，x-1≥0，x+1＞0，所以|x-1|+|x+1|=（x-1）+（x+1）=2x≥2；
綜上所述，當(dāng)x=-1，0，1，2，所以|x-2|+|x+1|的最小值是0，
此時的范圍是-1≤x＜1，
故答案為：0，-1≤x＜1；

（4）|x-2|+|x+1|≥5
①當(dāng)x＜-1時，
∵此時x-2＜0，x+1＜0，
∴|x-1|+|x+3|=-（x-2）-（x+1）=-2x-1≥5，
解的得：x≤-3；
②當(dāng)-1≤x＜2時，
∵此時x-2＜0，x+1≥0，
∴|x-1|+|x+3|=-（x-2）+（x+1）=3≥5，
此時不存在；
③當(dāng)x≥2時，
∵此時x-2≥0，x+1＞0，
∴|x-2|+|x+1|=（x-2）+（x+1）=2x-1≥5，
解得：x≥3；
即x≤-3或x≥3，
故答案為：x≤-3或x≥3；

（5）在探究題目的過程中，蘊含的數(shù)學(xué)思想方法有分類討論思想，
故答案為：分類討論思想．

點評 考查了數(shù)軸，借助數(shù)軸可以使有關(guān)絕對值的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上有關(guān)距離的問題，反之，有關(guān)數(shù)軸上的距離問題也可以轉(zhuǎn)化為絕對值問題．這種相互轉(zhuǎn)化在解決某些問題時可以帶來方便．事實上，|A-B|表示的幾何意義就是在數(shù)軸上表示數(shù)A與數(shù)B的點之間的距離．