Question

已知：四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=CD,∠BAD=120°,點(diǎn)E是射線CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與C、D不重合）,將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后,得到△ABE',連接EE'.

（1）如圖1,∠AEE'= ???? °;

（2）如圖2,如果將直線AE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后交直線BC于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)E作EM∥AD交直線AF于點(diǎn)M,寫(xiě)出線段DE、BF、ME之間的數(shù)量關(guān)系;

（3）如圖3,在（2）的條件下,如果CE=2,AE=,求ME的長(zhǎng).

 

 

Answer 1

【答案】

(1)∠AEE'=30°;

(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí),;

當(dāng)點(diǎn)E在CD的延長(zhǎng)線上時(shí),

時(shí),;

時(shí),;?

時(shí),;

(3) ．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理即可;

（2）根據(jù)題意得到AN=E'N,EN=NE',再ME∥BC,得到,從而得到線段DE、BF、ME之間的數(shù)量關(guān)系;

（3）通過(guò)作輔助線,求出,再由（2）的結(jié)論得到ME的長(zhǎng)．

試題解析：(1)根據(jù)題意知：AE=AE' , ∠E'AE=120°,所以∠AEE'=30°;

(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí),設(shè)AF與EE'相交于N,

∵∠E'AE=120°,∠EAF=30°,

∴∠E'AN=90°,∠AE'N=30°,

∴AN=E'N,

∵∠NAE=∠NEA=30°,

∴AN=EN,即EN=NE',

∵ME∥BC

∴△MNE∽△FNE'

∴,而E'B=DE,

∴;

同理：當(dāng)點(diǎn)E在CD的延長(zhǎng)線上,

時(shí),;

時(shí),;?

時(shí),;

(3)作于點(diǎn)G, 作于點(diǎn)H.

由AD∥BC,AD=AB=CD,∠BAD=120°,得∠ABC=∠DCB=60°,

易知四邊形AGHD是矩形和兩個(gè)全等的直角三角形.

則GH=AD , BG=CH.

∵,

∴點(diǎn)、B、C在一條直線上.

設(shè)AD=AB=CD=x,則GH=x,BG=CH=,.

作于Q.

在Rt△EQC中,CE=2, ,

∴, .

∴E'Q=.

作于點(diǎn)P.

∵△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后,得到△ABE'.

∴△AEE'是等腰三角形,.

∴在Rt△APE'中,E'P=.

∴EE'=2E'P=.??

∴在Rt△EQ E'中,E'Q=.

∴.

∴.

∴,.

∴

在Rt△E'AF中,,

∴Rt△AG E'∽Rt△FA E'.

∴

∴.

∴.

由（2）知：

∴．

考點(diǎn)：三角形綜合．