Question

已知函數(shù)y=（a+2）x²-2（a²-1）x+1，其中自變量x為正整數(shù)，a也是正整數(shù)，求x何值時(shí)，函數(shù)值最小．

Answer 1

分析：將函數(shù)解析式通過變形得配方式，其對稱軸為x=

a2-1

a+2

=(a-2)+

3

a+2

，因0＜

3

a+2

≤1，a-2＜

a2-1

a+2

≤a-1，故函數(shù)的最小值只可能在x取a-2，

a2-1

a+2

時(shí)達(dá)到．所以，解決本例的關(guān)鍵在于分類討論．

解答：解：∵y=（a+2）x²-2（a²-1）x+1，
∴y=（a+2）(x-

a2-1

a+2

)2+1-

(a2-1)2

a+2

，其對稱軸為x=

a2-1

a+2

=(a-2)+

3

a+2

，
因?yàn)閍為正整數(shù)，故因0＜

3

a+2

≤1，a-2＜

a2-1

a+2

≤a-1，
因此，函數(shù)的最小值只能在x取a-2，a-1，

a2-1

a+2

時(shí)達(dá)到，
（1）當(dāng)a-1=

a2-1

a+2

時(shí)，a=1，此時(shí)，x=1使函數(shù)取得最小值，由于x是正整數(shù)，故應(yīng)舍去；
（2）a-2＜

a2-1

a+2

＜a-1時(shí)，即a＞1時(shí)，由于x是正整數(shù)，而

a2-1

a+2

為小數(shù)，故x=

a2-1

a+2

不能達(dá)到最小值，
當(dāng)x=a-2時(shí)，y₁=（a+2）（a-2）²-2（a²-1）（a-2）+1，
當(dāng)x=a-1時(shí)，y₂=（a+2）（a-1）²-2（a²-1）（a-1）+1，
又y₁-y₂=4-a，
①當(dāng)4-a＞0時(shí)，即1＜a＜4且a為整數(shù)時(shí)，x取a-1，使y₂為最小值；
②當(dāng)4-a=0時(shí)，即a=4時(shí)，有y₁=y₂，此時(shí)x取2或3；
③當(dāng)4-a＜0時(shí)，即a＞4且為整數(shù)時(shí)，x取a-2，使y₁為最小值；
綜上，x=

a-1，1＜a＜4時(shí) 2或3，a=4時(shí) a-2，當(dāng)a＞4時(shí)

（其中a為整數(shù)）．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的最值，難度較大，關(guān)鍵是用分類討論的思想進(jìn)行解題．