Question

感知：如圖①，點(diǎn)E在正方形ABCD的邊BC上，BF⊥AE于點(diǎn)F，DG⊥AE于點(diǎn)G，可知△ADG ≌△BAF ；（不要求證明） 拓展：如圖②，點(diǎn)B 、C 分別在∠MAN 的邊AM 、AN 上，點(diǎn)E 、F 在∠MAN 內(nèi)部的射線AD 上，∠1 、∠2 分別是△ABE 、△CAF 的外角，已知AB=AC ，∠1= ∠2= ∠BAC ，求證：△ABE ≌△CAF ．
應(yīng)用：如圖③，在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，AB ＞BC ．點(diǎn)D 在邊BC 上，CD=2BD ，點(diǎn)E 、F 在線段AD 上，∠1= ∠2= ∠BAC，若△ABC 的面積為9 ，則△ABE 與△CDF 的面積之和為______。

Answer 1

拓展： 證明：∵∠1= ∠2 ， ∴∠BEA= ∠AFC ， ∵∠1= ∠ABE+ ∠3 ，∠3+ ∠4= ∠BAC ，∠1= ∠BAC ， ∴∠BAC= ∠ABE+ ∠3 ， ∴∠4= ∠ABE， ∴， ∴△ABE≌△CAF（AAS）； 應(yīng)用： ∵在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，CD=2BD ， ∴△ABD與△ADC等高，底邊比值為：1 ：2， ∴△ABD與△ADC 面積比為：1 ：2， ∵△ABC的面積為9， ∴△ABD 與△ADC 面積分別為：3，6； ∵∠1= ∠2， ∴∠BEA= ∠AFC， ∵∠1=∠ABE+ ∠3，∠3+∠4=∠BAC，∠1= ∠BAC， ∴∠BAC=∠ABE+∠3， ∴∠4=∠ABE， ∴， ∴△ABE ≌△CAF（AAS ）， ∴△ABE 與△CAF 面積相等， ∴△ABE 與△CDF 的面積之和為△ADC 的面積， ∴△ABE 與△CDF 的面積之和為6， 故答案為：6。