Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，H是高AD和BE的交點，G、F分別是BH和AC的中點，試探究DG與DF之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線

專題：

分析：根據(jù)斜邊中線等于斜邊一半性質(zhì)即可證明DG=BG，DF=AF，可得∠GDB=∠FDA，即可證明GD⊥DF，進而可以求證△BDG≌△ADF，即可求得DG=DF，即可解題．

解答：解：∵G、F分別是BH和AC的中點，
∴DG=BG，DF=AF，
∴∠GBD=∠GDB，∠FAD=∠FDA，
∵∠C=∠C，AD⊥CD，CE⊥BE，
∴∠CBE=∠CAD，
∴∠GDB=∠FDA，
∵∠GDB+∠GDH=90°，
∴∠ADF+∠GDH=90°，
∴GD⊥DF，
在△BGD和△AFD中，

∠GBD=∠FAD BD=AD ∠FDA=∠GDB

，
∴△BGD≌△AFD，（ASA）
∴DG=DF．
∴DG與DF之間的關(guān)系為DG=DF，DG⊥DF．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質(zhì)，本題中求證△BGD≌△AFD是解題的關(guān)鍵．