Question

已知直線y=2x+4分別與x軸、y軸交于A，B，與雙曲線y=

k

x

在第一象限交于C（1，m）．
（1）求點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)及k的值；
（2）問(wèn)在雙曲線y=

k

x

上且在直線y=2x+4的下方，是否存在點(diǎn)M，使△MAB得面積等于△ABO的面積的2倍？若存在，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）點(diǎn)P是雙曲線y=

k

x

第一象限上的動(dòng)點(diǎn)，Q是直線y=2x+4上的動(dòng)點(diǎn)，若△BPQ是等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由題意可知B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，分別代入直線方程可求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再把C點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線解析式可求得k的值；
（2）△MAB和△ABO中AB為底，只要高滿足2倍關(guān)系即可，過(guò)O作出△ABO的AB邊上的高，利用對(duì)稱性，作出D關(guān)于O點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)E，過(guò)E和AB平行的直線與雙曲線的交點(diǎn)即為所求的M點(diǎn)，利用求交點(diǎn)坐標(biāo)的方法可解出M的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)∠PBQ為直角時(shí)，過(guò)點(diǎn)B且垂直AB的直線與雙曲線的交點(diǎn)即滿足題意，當(dāng)∠PQB為直角時(shí)，則過(guò)B的直線與直線AB的夾角為45°即可，求出相應(yīng)直線方程，聯(lián)立方程組求解即可．

解答：解：（1）在y=2x+4中，令x=0，解得：y=4，
則B的坐標(biāo)是（0，4），
令x=1，解得：y=6，
則C的坐標(biāo)是（1，6），
把（1，6）代入y=

k

x

中，得：k=6；
（2）在y=2x+4中，令y=0，解得：x=-2，
則A的坐標(biāo)是（-2，0）．
如圖1，過(guò)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，則直線OD的解析式是y=-

1

2

x，

          圖1
根據(jù)題意得：

y=2x+4 y=- 1 2 x

，
解得：

x=- 8 5 y= 4 5

，
則D的坐標(biāo)是（-

8

5

，

4

5

），D關(guān)于O的對(duì)稱點(diǎn)是E（

8

5

，-

4

5

），
經(jīng)過(guò)E且平行于AB的直線的解析式是：y=2x+c，則-

4

5

=

16

5

+c，
解得：c=-4，
則解析式是y=2x-4．
根據(jù)題意的：

y=2x-4 y= 6 x

，
解得：

x=3 y=2

或

x=-1 y=-6

，
則M的坐標(biāo)是（3，2）或（-1，-6）；
（3）當(dāng)∠PBQ=90°時(shí)，則有BP⊥AB，
如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BP⊥AB，交雙曲線于點(diǎn)P，

此時(shí)在直線AB上存在滿足條件的Q點(diǎn)，
此時(shí)直線BP方程為：y=-

1

2

x+4，
聯(lián)立雙曲線方程得：

y=- 1 2 x+4 y= 6 x

，
解得：

x=2 y=3

或

x=1 y=6

，即此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3）或（1，6）；
當(dāng)∠BQP=90°時(shí)，如圖3，過(guò)B點(diǎn)作直線BP，使直線BP與直線AB的夾角為45°，交雙曲線于點(diǎn)P，交x軸于點(diǎn)D，此時(shí)在直線AB上存在滿足條件的Q點(diǎn)，

則∠1=∠2+∠3=∠2+45°，
所以tan∠1=tan（∠2+45°）=

1+tan∠2

1-tan∠2

，
又tan∠1=

OB

OA

=

4

2

=2，所以

1+tan∠2

1-tan∠2

=2，
解得tan∠1=

1

3

，所以直線BP的方程為：y=

1

3

x+4，
聯(lián)立雙曲線方程得：

y= 1 3 x+4 y= 6 x

，
解得：

x=3 6 -6 y= 6 +2

或

x=-3 6 -6 y=- 6 +2

（因?yàn)镻點(diǎn)在第一象限，故舍去），
此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（3

6

-6，

6

+2）；
當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，同理可求得P點(diǎn)坐標(biāo)仍為（3

6

-6，

6

+2）；
綜上可知滿足條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（2，3）或（1，6）或（3

6

-6，

6

+2）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合應(yīng)用，在第（2）、（3）中確定出所求點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．