Question

如圖，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四邊形CDEF是正方形，連結(jié)AF、BD.

(1)觀察圖形，猜想AF與BD之間有怎樣的關(guān)系，并證明你的猜想；

(2)若將正方形CDEF繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使正方形CDEF的一邊落在△ABC的內(nèi)部，請(qǐng)你畫出一個(gè)變換后的圖形，并對(duì)照已知圖形標(biāo)記字母，題(1)中猜想的結(jié)論是否仍然成立？若成立，直接寫出結(jié)論，不必證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.

 

 

 

Answer 1

【答案】

（1）猜想：AF=BD且AF⊥BD.

　　　 證明：設(shè)AF與DC交點(diǎn)為G.

　　　 ∵FC=DC，AC=BC，∠BCD=∠BCA+∠ACD，

　　　 ∠ACF=∠DCF+∠ACD，∠BCA=∠DCF=90°，

　　 　∴∠BCD=∠ACF.

　　 　∴△ACF≌△BCD.

　　　 ∴AF=BD.，∠AFC=∠BDC.

　　　 ∵∠AFC+∠FGC=90°, ∠FGC=DGA，

　　 　∴∠BDC+∠DGA=90°.

　　 　∴AF⊥BD.

　　 　∴AF=BD且AF⊥BD.

　　 　(2)如圖，結(jié)論：AF=BD且AF⊥BD.

        圖形不惟一，只要符合要求即可．

        如：圖1中CD邊在△ABC的內(nèi)部；圖2中CF邊在△ABC的內(nèi)部.

       

【解析】一般線段的關(guān)系有數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，此題AF與DB的關(guān)系是AF=BD且AF⊥BD，要證明它們可以利用等腰直角三角形性質(zhì)和正方形的性質(zhì)構(gòu)造全等條件證明△ACF≌△BCD，然后利用全等三角形的性質(zhì)可以解決題目的問題．