Question

如圖，△ABC為等邊三角形，AE=CD，AD、BE相交于點P，BQ⊥AD于Q，PQ=2cm．
（1）求證：BE=AD．
（2）求PB的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以得出∠BAC=∠C=60°，AB=AC=BC，由SAS及可以得出△ABE≌△CAD；
（2）由△ABE≌△CAD可以得出∠ABE=∠CAD，就可以求出∠BPQ=60°，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)就可以求出結(jié)論．

解答：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，AB=AC=BC．
在△ABE和△CAD中，

AB=CA ∠BAC=∠C AE=CD

，
∴△ABE≌△CAD（SAS）；
∴BE=AD．

（2）解：∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
∵∠BPQ=∠ABE+∠BAQ，
∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．
∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°．
∴∠PBQ+∠BPQ=90°，
∴∠PBQ=30°．
∴BP=2PQ，
∵PQ=2cm，
∴BP=4cm．

點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定與性質(zhì)的運用，三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系的運用，直角三角形的性質(zhì)的運用，含30度角的直角三角形的性質(zhì)運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．