Question

如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，若將△ABC繞著點C逆時針旋轉90°得△EDC．
（1）求證：∠ADC+∠CDE=180°；
（2）若AB=3cm，AC=4

2

cm，求AD的長；
（3）在（2）的條件下，求四邊形ABCD的周長和面積．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,勾股定理,旋轉的性質

專題：

分析：（1）通過旋轉的性質和四邊形內角和定理證得結論；
（2）根據(jù)旋轉的性質得到AC=EC，AB=ED；然后在等腰直角△ACE中，由勾股定理求得AE的長度，則AD=AE-EC=AE-AB；
（3）如圖，連接BD；在（2）的條件下，利用勾股定理可以求得BD的長度，則利用等腰直角三角形的性質易求BC的長度，從而求得四邊形ABCD的周長；四邊形ABCD的面積=△ACE的面積．

解答：（1）證明：如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，則∠B+∠ADC=180°．
∵將△ABC繞著點C逆時針旋轉90°得△EDC，
∴△ABC≌△EDC，
∴∠CDE=∠CBA，
∴∠ADC+∠CDE=180°；

（2）解：∵將△ABC繞著點C逆時針旋轉90°得△EDC，
∴AC=EC=4

2

cm，AB=ED=3cm，∠ACE=90°，
∴AE=

2

AC=8cm，
∴AD=AE-EC=AE-AB=5cm；

（3）解：如圖，連接BD．
由（2）知，AD=5cm．
則在直角△ABD中，由勾股定理得到：BD=

AB2+AD2

=

34

．
又∵BC=CD，∠BCD=90°，
∴BC=CD=

34

2

=

17

，
∴四邊形ABCD的周長為：AB+AD+2BC=3+5+2

17

=8+2

17

；
∵△ABC≌△EDC，
∴四邊形ABCD的面積=△ACE的面積=

1

2

AC•CE=

1

2

×4

2

×4

2

=16（cm²）．
綜上所述，四邊形ABCD的周長為（8+2

17

）cm，面積為16cm²．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，旋轉的性質以及三角形的面積．旋轉前、后的圖形全等．