Question

11．?dāng)?shù)據(jù)x₁，x₂，x₃，…，x_n的平均數(shù)是a，數(shù)據(jù)y₁，y₂，y₃，…，y_n的平均數(shù)是b，探討：
（1）數(shù)據(jù)x₁+x₂+…+x_n+y₁+y₂+…+y_n的平均數(shù)；
（2）數(shù)據(jù)x₁+10，x₂+10，…，x_n+10的平均數(shù)；
（3）數(shù)據(jù)2x₁+3y₁，2x₂+3y₂，…，2x_n+3y_n的平均數(shù)；
（4）由上面的探討，總結(jié)出一般規(guī)律．

Answer 1

分析 （1）由題意得出x₁+x₂+x₃+…+x_n=na，y₁+y₂+…+y_n=nb，再依據(jù)平均數(shù)的定義計(jì)算（x₁+y₁+x₂+y₂+…+x_n+y_n）÷n=（na+nb）÷n可得答案；
（2）根據(jù)平均數(shù)的定義知x₁+10，x₂+10，…，x_n+10的平均數(shù)為$\frac{1}{n}$×（x₁+10+x₂+10+…+x_n+10），據(jù)此可得．
（3）把2x_l+3y₁，2x₂+3y₂，2x₃+3y₃…2x_n+3y_n的平均數(shù)的式子用a和b表示出來(lái)即可；
（4）一般規(guī)律為：mx₁+ny₁，mx₂+ny₂，…，mx_n+ny_n的平均數(shù)為ma+nb．

解答 解：（1）∵數(shù)據(jù)x₁，x₂，…x_n的平均數(shù)為a，數(shù)據(jù)y₁，y₂，…y_n的平均數(shù)為b，
∴x₁+x₂+x₃+…+x_n=na，y₁+y₂+…+y_n=nb，
∴數(shù)據(jù)x₁+y₁，x₂+y₂，…x_n+y_n的平均數(shù)為（x₁+y₁+x₂+y₂+…+x_n+y_n）÷n
=（na+nb）÷n
=a+b．

（2）數(shù)據(jù)x₁+10，x₂+10，…，x_n+10的平均數(shù)為$\frac{1}{n}$×（x₁+10+x₂+10+…+x_n+10）=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+…+{x}_{n}+10n}{n}$=a+10；

（3）∵x₁、x₂、x₃的平均數(shù)為a，y₁、y₂、y₃的平均數(shù)為b
∴（2x₁+3y₁+2x₃+3y₃…2x_n+3y_n）÷n
=[2（x₁+x₂+x₃+••+x_n）+3（y₁+y₂+y₃+…+y_n）]÷n
=2a+3b．

（4）由以上可得mx₁+ny₁，mx₂+ny₂，…，mx_n+ny_n的平均數(shù)為ma+nb．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平均數(shù)的計(jì)算．本題說(shuō)明了一組數(shù)據(jù)若是由兩組數(shù)據(jù)的和或倍數(shù)組成，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)是這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的和或倍數(shù)．