Question

18．如圖，AB是⊙O的直徑，BC⊥AB，垂足為點B，連接CO并延長交⊙O于點D、E，連接AD并延長交BC于點F．則下列結(jié)論正確的有（　　）
①∠CBD=∠CEB；②$\frac{BD}{BE}$=$\frac{CD}{BC}$；③點F是BC的中點；④若$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{2}$，tanE=$\frac{\sqrt{10}-1}{3}$．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①正確，運(yùn)用圓周角定理以及等角的余角相等即可解決問題．
②正確，運(yùn)用△EBC∽△BDC即可證明．
③錯誤，運(yùn)用反證法來判定．
④正確，設(shè)BC=3x，AB=2x，得出OB、OD及OC、CD的值，運(yùn)用$\frac{BD}{BE}=\frac{CD}{BC}$即可解決問題．

解答 證明：（1）∵BC⊥AB于點B，
∴∠CBD+∠ABD=90°，
∵∠BAD+∠ABD=90°
∴∠CBD=∠BAD，
∵∠BAD=∠CEB，
∴∠CEB=∠CBD，
故①正確．
（2）∵∠C=∠C，∠CEB=∠CBD，
∴△EBC∽△BDC，
∴$\frac{BD}{BE}=\frac{CD}{BC}$，
故②正確，
（3）∵∠EBD=∠BDF=90°，
∴DF∥BE，
假設(shè)點F是BC的中點，則點D是EC的中點，
∴ED=DC，
∵ED是直徑，長度不變，而DC的長度是不定的，
∴DC不一定等于ED，
故③是錯誤的．
（4）∵$\frac{BC}{AB}=\frac{3}{2}$，
設(shè)BC=3x，AB=2x，
∴OB=OD=x，
∴在RT△CBO中，OC=$\sqrt{10}$x，
∴CD=（$\sqrt{10}$-1）x
∵由（2）知，$\frac{BD}{BE}=\frac{CD}{CB}$
∴$\frac{BD}{BE}=\frac{CD}{BC}$=$\frac{（\sqrt{10}-1）x}{3x}$=$\frac{\sqrt{10}-1}{3}$，
∵tanE=$\frac{BD}{BE}$
∴tanE=$\frac{\sqrt{10}-1}{3}$，
故④正確．
故選：C．

點評 本題主要考查了圓的綜合題，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、銳角三角函數(shù)定義等知識點，解題的關(guān)鍵在于靈活應(yīng)用這些知識解決問題，通過求證三角形相似根據(jù)對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)求出tan∠E的值，屬于中考壓軸題．