Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，且點(diǎn)B與點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為B(3，0)，C(0，3)，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求二次函數(shù)的關(guān)系式；

（2）點(diǎn)P為線段MB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D．若OD＝m，△PCD的面積為S，

①求S與m的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量m的取值范圍．

②當(dāng)S取得最值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在MB上是否存在點(diǎn)P，使△PCD為直角三角形？如果存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）①S＝﹣m2+3m，1≤m≤3；②P(，3)；（3）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，3)或(﹣3+3，12﹣6)．

【解析】

（1）將點(diǎn)B，C的坐標(biāo)代入 即可；

（2）①求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，直線MB的解析式，由PD⊥x軸且 知P（m，﹣2m+6），即可用含m的代數(shù)式表示出S；

②在①的情況下，將S與m的關(guān)系式化為頂點(diǎn)式，由二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)即可寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）分情況討論，如圖2﹣1，當(dāng) 時(shí)，推出 ，則點(diǎn)P縱坐標(biāo)為3，即可寫出點(diǎn)P坐標(biāo)；如圖2﹣2，當(dāng) 時(shí)，證 ，由銳角三角函數(shù)可求出m的值，即可寫出點(diǎn)P坐標(biāo)；當(dāng) 時(shí)，不存在點(diǎn)P．

（1）將點(diǎn)B（3，0），C（0，3）代入 ，

得 ，

解得 ，

∴二次函數(shù)的解析式為 ；

（2）①∵ ，

∴頂點(diǎn)M（1，4），

設(shè)直線BM的解析式為 ，

將點(diǎn)B（3，0），M（1，4）代入，

得 ，

解得 ，

∴直線BM的解析式為 ，

∵PD⊥x軸且 ，

∴P（m，﹣2m+6），

∴，

即 ，

∵點(diǎn)P在線段BM上，且B（3，0），M（1，4），

∴ ；

②∵，

∵ ，

∴當(dāng) 時(shí)，S取最大值 ，

∴P（ ，3）；

（3）存在，理由如下：

①如圖2﹣1，當(dāng) 時(shí)，

∵ ，

∴四邊形CODP為矩形，

∴ ，

將 代入直線 ，

得，

∴P（ ，3）；

②如圖2﹣2，當(dāng)∠PCD＝90°時(shí)，

∵ ， ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴，

∴ ，

∴ ，

解得 （舍去）， ，

∴P（，），

③當(dāng) 時(shí)，

∵PD⊥x軸，

∴不存在，

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ，3）或（，）．