Question

7．如圖，線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為$30\sqrt{2}$，點(diǎn)D在A(yíng)B上，△ACD是邊長(zhǎng)為15的等邊三角形，過(guò)點(diǎn)D作與CD垂直的射線(xiàn)DP，過(guò)DP上一動(dòng)點(diǎn)G（不與D重合）作矩形CDGH，記矩形CDGH的對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)為O，連接OB，則線(xiàn)段BO的最小值為（　�。�

• A． $15\sqrt{2}$
• B． 15
• C． $30\sqrt{2}$
• D． 30

Answer 1

分析 根據(jù)題意可以知道當(dāng)BO與DP垂直時(shí)，BO取得最小值，此時(shí)BO的長(zhǎng)度等于BD•sin∠PDB與CD的一半的和，本題得以解決．

解答 解：如果，作射線(xiàn)MO⊥CD，則點(diǎn)M為CD的中點(diǎn)，
由題意可得，點(diǎn)O為矩形CDGH的中點(diǎn)，所以無(wú)論G在射線(xiàn)DP上如何變化，O點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡在CD的中垂線(xiàn)上，即O點(diǎn)在射線(xiàn)MO上．
∵DP⊥CD，
∴MO∥DP
線(xiàn)段BO的最小值為B到射線(xiàn)MO的最小距離，所以當(dāng)BO⊥DP時(shí)，BO取得最小值，
∵△ACD是邊長(zhǎng)為15的等邊三角形，四邊形CDGH是矩形，
∴∠PDB=180°-60°-90°=30°，線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為$30\sqrt{2}$，
∴BD=AB-AD=30$\sqrt{2}-15$，
∴BO的最小值是：BD•sin30°+$\frac{15}{2}$=（30$\sqrt{2}$-15）×$\frac{1}{2}$+$\frac{15}{2}$=15$\sqrt{2}$，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查矩形的性質(zhì)、線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)和含30°角的直角三角形，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件．