Question

如圖，AB為⊙O的直徑，點C是⊙O上的一點，CD⊥AB，垂足為點D，CF⊥AF，且CF=CD，AF交⊙O于點E，BE交AC于點M．
（1）求證：CF是⊙O的切線；
（2）若AB=6，cos∠BCD=，求AM的長．

Answer 1

（1）證明：
連接OC交BE于N，
∵CF⊥AF，CD⊥AB，CF=CD，
∴∠FAC=∠DAC，
∴弧EC=弧BC，
∴OC⊥BE，
∵AB是直徑，
∴∠EFC=∠FEN=∠ENC=90°，
∴∠FCO=360°-90°-90°-90°=90°，
即OC⊥CF，
∵OC為半徑，
∴CF是⊙O的切線．

（2）解：∵AB是直徑，CD⊥AB，
∴∠ACB=∠CDB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，∠BCD+∠CBA=90°，
∴∠BCD=∠CAB，
∵AB=6，cos∠BCD=，
∴cos∠CAB==，
∴AC=5，
由勾股定理得：BC==，
∵弧CE=弧BC，
∴∠EAC=∠CBE=∠CAB，
即∠CBM=∠CAB，
∵∠ACB=∠ACB，
∴△CAB∽△CBM，
∴=，
∵BC=，AC=5，
∴CM=，
∴AM=AC-CM=5-=．
分析：（1）連接O根據角平分線性質得出∠FAC=∠BAC，根據垂徑定理得出OC⊥BE，求出∠CFE=∠FEB=∠ENC=90°，求出∠OCF=90°，根據切線判定推出即可．
（2）求出AC和BC，證△BCM和△CAB相似，得出比例式，求出CM，即可得出答案．
點評：本題考查了切線的判定，角平分線性質，相似三角形的性質和判定，垂徑定理，圓周角定理的應用，主要考查學生的推理能力，綜合性比較強．