Question

18．（1）拋物線C₁：y=（x+1）²-2繞坐標(biāo)原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得拋物線C₂，即：C₁，C₂關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對稱，則C₂的解析式是：y=-（x-1）²+2；
（2）若兩拋物線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對稱，且一條拋物線的頂點(diǎn)在另一條拋物線上，我們稱這兩條拋物線為“共軛拋物線”
①（1）中的C₁，C₂是否為“共軛拋物線”？
②拋物線M：y=x²+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（m，n），若拋物線M與它關(guān)于原點(diǎn)中心對稱的圖形是“共軛拋物線”，求n與m的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出旋轉(zhuǎn)后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)頂點(diǎn)式解析式形式寫出即可．
（2）①把拋物線C₂的頂點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線C₁的解析式進(jìn)行驗(yàn)證；
②把拋物線M的共軛拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)代入y=x²+bx+c，通過整理可以得到m與n的函數(shù)關(guān)系式．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=（x+1）²-2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-2），
∴繞坐標(biāo)原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后的拋物線C₂的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），
又∵旋轉(zhuǎn)后拋物線的開口方向上，
∴旋轉(zhuǎn)后的拋物線的解析式為y=-（x-1）²+2．
故答案是：y=-（x-1）²+2．

（2）①由（1）知，拋物線C₂的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）．
把x=1代入拋物線C₁：y=（x+1）²-2，得
y=（1+1）²-2=2，即拋物線的頂點(diǎn)C₂在拋物線上C₁，則兩條拋物線為“共軛拋物線”；
②（m，n）關(guān)于原點(diǎn)對稱的坐標(biāo)為（-m，-n），共軛拋物線：y=-（x+m）²-n，把（m，n）代入得n=-（2m）²-n，
整理得：n=-2m²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，此類題目，利用頂點(diǎn)的變化確定拋物線解析式更簡便．