Question

三個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)是10，最小公倍數(shù)是100，滿足要求的三數(shù)組共有多少組？

Answer 1

分析：設(shè)三個(gè)數(shù)是10a，10b，10c，則abc三數(shù)互質(zhì)，且最小公倍數(shù)是10，則a，b，c都是10的約數(shù)，10的約數(shù)是1，2，5，10，若有2個(gè)1，則還有一個(gè)一定是10，若只有一個(gè)1，則另兩個(gè)可能是，2，5或2，10或5，10或10，10，若沒有1，則若有2個(gè)2，則另一個(gè)必須是5，若只有1個(gè)2，則另兩個(gè)可能是，5，5或5，10，若1和2都沒有，則只有5和10，這樣不符合abc三數(shù)互質(zhì)，所以10a，10b，10c分別是：10，10，100；10，20，50；10，20，100；10，50，100；10，100，100；20，20，50，；20，50，50；20，50，100，有8組．

解答：解：10=2×5，100=2×2×5×5，
所以三個(gè)數(shù)中，質(zhì)因數(shù)2有出現(xiàn)1次也有出現(xiàn)2次的，可能是2，2，2×2或2，2×2，2×2，同理，5也是，
若是2，2，2×2和5，5，5×5搭配，有2種情況，
所以共有2×4=8種情況，
10，10，100；10，20，50；10，20，100；10，50，100；10，100，100；20，20，50，；20，50，50；20，50，100，有8組．
答：滿足要求的三數(shù)組共有8組：10，10，100；10，20，50；10，20，100；10，50，100；10，100，100；20，20，50，；20，50，50；20，50，100．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查公約數(shù)與公倍數(shù)問題，根據(jù)最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)確定原來(lái)三數(shù)是多少．