Question

14．如圖，AD是△ABC的高，點E，F(xiàn)在邊BC上，點H在邊AB上，點G在邊AC上，AD=80cm，BC=120cm．
（1）若四邊形EFGH是正方形，求正方形的面積．
（2）若四邊形EFGH是長方形，長方形的面積為y，設(shè)EF=x，則y=-$\frac{2}{3}$x²+80x．（含x的代數(shù)式），當(dāng)x=60cm時，y最大，最大面積是2400cm²．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的對邊平行可得HG∥EF，然后得到△AHG與△ABC相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比列出比例式，求出HG，即可得出正方形的面積；
（2）證出△AEF∽△ABC，得出比例式得出HE，得出長方形的面積y是x的二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的最值問題進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵四邊形EFGH是正方形，
∴HG∥EF，GH=HE=ID，
∴△AHG∽△ABC，
∴AI：AD=HG：BC，
∵BC=120cm，AD=80cm，
∴$\frac{80-HG}{80}=\frac{HG}{120}$，
解得：HG=48cm，
∴正方形EFGH的面積=HG²=48²=2304（cm²）；
（2）∵四邊形EFGH是長方形，
∴HG∥EF，
∴△AEF∽△ABC，
∴AI：AD=HG：BC，
即$\frac{80-HE}{80}=\frac{x}{120}$，
解得：HE=-$\frac{2}{3}$x+80，
∴長方形EFGH的面積y=x（-$\frac{2}{3}$x+80）=-$\frac{2}{3}$x²+80x=-$\frac{2}{3}$（x-60）²+2400，
∵-$\frac{2}{3}$＜0，
∴當(dāng)x=60，即EF=60cm時，長方形EFGH有最大面積，最大面積是2400cm²；
故答案為：-$\frac{2}{3}$x²+80x，60cm，2400cm²．

點評 本題考查了長方形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值問題；根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比列出比例式求出長方形的邊長是解決問題（2）的關(guān)鍵．