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已知a，b是兩個任意有理數(shù)，且a＜b，問是否存在無理數(shù)α，使得a＜α＜b成立？

解：∵a＜b， $\text{[math]}$ -1＞0，
∴ $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ①
又∵a＜b=b+ $\text{[math]}$ ，
∴a+ $\text{[math]}$ b-b $\text{[math]}$ b，
即（ $\text{[math]}$ -1）b+a $\text{[math]}$ b ②
由①，②有
$\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
取 $\text{[math]}$ =b+ $\text{[math]}$ ，
∵b， $\text{[math]}$ 是有理數(shù)，且 $\text{[math]}$ ≠0，
∴b+ $\text{[math]}$ 是無理數(shù)，
即存在無理數(shù)α，使得a＜α＜b成立．
分析：在a＜b的左右兩邊同乘以 $\text{[math]}$ -1，整理得出 $\text{[math]}$ ①，（ $\text{[math]}$ -1）b+a $\text{[math]}$ b ②，由①，②得出 $\text{[math]}$ ，從而討論α的取值．
點評：此題難度較大，主要考查實數(shù)的運算，同時應用了不等式的性質等．

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