Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°, AD是∠BAC的平分線，O是AB上一點, 以 OA為半徑的⊙O經過點D。

（1）求證： BC是⊙O切線；

（2）若BD=5, DC=3, 求AC的長。

Answer 1

（1）證明見解析；（2）6.

【解析】

試題分析：（1）要證BC是⊙O的切線，只要連接OD，再證OD⊥BC即可．

（2）過點D作DE⊥AB，根據角平分線的性質可知CD=DE=3，由勾股定理得到BE的長，再通過證明△BDE∽△BAC，根據相似三角形的性質得出AC的長．

試題解析：（1）證明：連接OD；

∵AD是∠BAC的平分線，

∴∠1=∠3．

∵OA=OD，

∴∠1=∠2．

∴∠2=∠3．

∴OD∥AC．

∴∠ODB=∠ACB=90°．

∴OD⊥BC．

∴BC是⊙O切線．

（2）【解析】
過點D作DE⊥AB，

∵AD是∠BAC的平分線，

∴CD=DE=3．

在Rt△BDE中，∠BED=90°，

由勾股定理得：BE=

∵∠BED=∠ACB=90°，∠B=∠B，

∴△BDE∽△BAC．

∴．

∴．

∴AC=6．

考點：切線的判定．