Question

7．已知二次函數(shù)y=x²-mx+4的圖象與x軸交于A、B兩點，且A、B兩點間的距離為2．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）求二次函數(shù)的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)為（a，0），（b，0），則|a-b|=2，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b=m，ab=4，利用完全平方公式得到（a+b）²-4ab=4，則m²-4×4=4，然后解方程求出m即可得到拋物線解析式；
（2）把（1）中的解析式配成頂點式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定最小值．

解答 解：（1）設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)為（a，0），（b，0），則|a-b|=2，
∵a、b是方程x²-mx+4的兩根，
∴a+b=m，ab=4，
∵（a-b）²=4，
∴（a+b）²-4ab=4，
∴m²-4×4=4，解得m=2$\sqrt{5}$或-2$\sqrt{5}$，
∴拋物線解析式為y=x²-2$\sqrt{5}$x+4或y=x²+2$\sqrt{5}$x+4；
（2）∵y=x²±2$\sqrt{5}$x+4=（x±$\sqrt{5}$）²-1，
∴當(dāng)x=$\sqrt{5}$或-$\sqrt{5}$時，二次函數(shù)的最小值為-1．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標(biāo)，令y=0，即ax²+bx+c=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標(biāo)．△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)：△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．