Question

如圖：在長方形ABCD中，∠B=90°點E在BC邊上，過E作EF⊥AC于F，
（1）如圖1：當BE=EC=3，AB=8時，求EF的長．
（2）如圖2：若BG=EG，求證：AG=BG．
（3）如圖3：若BG=EG=FG=BF，求：

AC

BC

的值．

Answer 1

考點：四邊形綜合題,圓周角定理

專題：

分析：（1）求EF的長．EF為△AEC的高，所以我們可以利用相等，

1

2

AB•EC=

1

2

AC•EF通過其他邊長，求得EF長度．
（2）證明AG=BG，只需得到∠GAB=∠GBA，已知中BG=EG，即可得出∠GBE=∠GEB，而在Rt△ABE中，∠GAB、∠GBA恰好為等角的余角．
（3）上一問中的條件在本問中又一次出現(xiàn)，所以上一問結(jié)論的本問使用的可能性較大，往往這是求解題目的突破口．那根據(jù)BG=EG=FG=BF和上問的AG=BG，可退得AG=BG=EG=FG=BF，可發(fā)現(xiàn)若G為圓心，ABEF四點都在圓上，且△BGF為等邊三角形．∠BAF為

BEF

所對的圓周角，即∠BAC=

1

2

•60°=30°，此時

AC

BC

=

1

sin∠BAC

，結(jié)論顯而易見．

解答：（1）解：∵BE=EC=3
∴BC=6
在Rt△ABC中
∵AB=8
∴AC=10
∴S△AEC=

1

2

AB•EC=

1

2

•8•3=12
∵S△AEC=

1

2

AC•EF=

1

2

•10•EF
∴EF=2.4
（2）證明：∵GB=GE
∴∠GBE=GEB
在Rt△ABE中
∠BAG與∠GEB互余
∵∠ABE=90°
∴∠GBA與∠GBE互余
∴∠GAB=∠GBA
∴AG=BG
（3）解：∵BG=EG
∴AG=BG在Rt△ABC中

BC

AC

=sin∠BAC=sin30°=

1

2

∵BG=EG=FG=BF
∴AG=BG=EG=FG=EF
∴A、B、E、F四點共圓且△BGF為等邊三角形
∴∠BGF=60°
∴∠BAF=

1

2

•∠BGF=30°
在Rt△ABC中
∵

BC

AC

=sin∠BAC=sin30°=

1

2

（如果沒接觸過三角函數(shù)，可以用“在含30°角的直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊的一半”，也可以得出結(jié)論）
∴

AC

BC

=2

點評：本題前兩問難度不高，都屬于基礎(chǔ)題目．第三問相對技巧性較強，且圖示不標準不容易得到思路．但是對于綜合類題目，也有非常有效的做題技巧．一、多問時，注意如果本問題目中有“若…”的情況，一般來講結(jié)論他問不能使用，但如果下問的“若…”包含前問的條件，這個時候解題往往要利用上文的結(jié)論．把精力放在這些點上，突破難題就容易的多．