Question

19．雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＜0）與直線y=x+6相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)k=-5時(shí)，求AB的長(zhǎng)；
（2）雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＜0）的同一支上有三點(diǎn)E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂）、K（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，y₀）．比較y₀與$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$的大�。�

Answer 1

分析 （1）解方程組得到A（-1，5），B（-5，1），根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵k=-5，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=$\frac{-5}{x}$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{5}{x}}\\{y=x+6}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=5}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-5}\\{{y}_{2}=1}\end{array}\right.$，
∴A（-1，5），B（-5，1），
∴AB=$\sqrt{（-1+5）^{2}+（5-1）^{2}}$=4$\sqrt{2}$；

（2）當(dāng)雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＜0）的三點(diǎn)E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂）、K（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，y₀）在第二象限時(shí)，
∵y₀＞0，$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＜0，
∴y₀＞$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$；
當(dāng)雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＜0）的三點(diǎn)E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂）、K（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，y₀）在第四象限時(shí)，
∵y₀＜0，$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＞0，
∴y₀＜$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，兩點(diǎn)間的距離公式，反比例函數(shù)的性質(zhì)，正確的求得交點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．