Question

3．如圖，頂點(diǎn)M在y軸上的拋物線與直線y=x+1相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2，連接AM、BM．
（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）判斷△ABM的形狀，并說明理由；
（3）若將（1）中的拋物線平移，使其頂點(diǎn)為（m，2m），當(dāng)m滿足什么條件時(shí)，平移后的拋物線過點(diǎn)（2，3）？

Answer 1

分析 （1）由拋物線的頂點(diǎn)在y軸上可是拋物線的解析式為y=ax²+c，將y=0、x=2代入直線AB中求出x、y的值，由此即可得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可得出拋物線的解析式；
（2）找出當(dāng)x=0時(shí)y的值，由此得出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離求出AM、AB、BM，再根據(jù)AB²+AM²=20=BM²，利用勾股定理的逆運(yùn)用即可得出△ABM是直角三角形；
（3）根據(jù)a的值以及頂點(diǎn)坐標(biāo)可以找出平移后的拋物線的解析式，將點(diǎn)（2，3）代入其中找出關(guān)于m的方程，解方程即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)M在y軸上，
∴設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+c，
當(dāng)y=0時(shí)，有x+1=0，解得：x=-1，
∴A（-1，0）；
當(dāng)x=2時(shí)，y=2+1=3，
∴B（2，3）．
將A（-1，0）、B（2，3）代入y=ax²+c中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=a+c}\\{3=4a+c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-1}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=x²-1．
（2）△ABM是直角三角形，理由如下：
當(dāng)x=0，y=-1，
∴M（0，-1）．
∵A（-1，0）、B（2，3），
∴AB=3$\sqrt{2}$，AM=$\sqrt{2}$，BM=2$\sqrt{5}$，
∵AB²+AM²=20=BM²，
∴△ABM是直角三角形．
（3）由已知得：平移后的拋物線解析式為y=（x-m）²+2m，
∵點(diǎn)（2，3）在該拋物線上，
∴3=（2-m）²+2m，
解得：m=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是：（1）求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2）求出AB、AM、BM的長(zhǎng)度；（3）找出關(guān)于m的方程．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．