Question

如圖，已知點C是以AB為直徑的⊙O上一點，CH⊥AB于點H，過點B作⊙O 的切線交直線AC于點D，點E為CH的中點，連結并延交BD于點F，直線CF交AB的延長線于G.

⑴求證：AE·FD=AF·EC；

⑵求證：FC=FB；

⑶若FB=FE=2，求⊙O 的半徑r的長.

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：∵BD是⊙O的切線，∴∠DBA=90°。

∵CH⊥AB，∴CH∥BD�！唷鰽EC∽△AFD。

∴�！郃E•FD=AF•EC。

（2）證明：∵CH∥BD，∴△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF�！�。

∵CE=EH（E為CH中點），∴BF=DF。

∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=∠DCB=90°�！郈F=DF=BF，即CF=BF。

（3）解：∵BF=CF=DF（已證），EF=BF=2，∴EF=FC�！唷螰CE=∠FEC。

∵∠AHE=∠CHG=90°，∴∠FAH+∠AEH=90°，∠G+∠GCH=90°。

∵∠AEH=∠CEF，∴∠G=∠FAG�！郃F=FG。

∵FB⊥AG，∴AB=BG。

連接OC，BC，

∵BF切⊙O于B，∴∠FBC=∠CAB。

∵OC=OA，CF=BF，

∴∠FCB=∠FBC，∠OCA=∠OAC

∴∠FCB=∠CAB。

∵∠ACB=90°，∴∠ACO+∠BCO=90°�！唷螰CB+∠BCO=90°，即OC⊥CG。

∴CG是⊙O切線。

∵GBA是⊙O割線，F(xiàn)B=FE=2，由切割線定理得：（2+FG）²=BG×AG=2BG²，

【注，沒學切割線定理的可由△AGC∽△CGB求得】

在Rt△BFG中，由勾股定理得：BG²=FG²﹣BF²，∴FG²﹣4FG﹣12=0。

解得：FG=6，F(xiàn)G=﹣2（舍去）。

由勾股定理得：AB=BG=。

∴⊙O的半徑r是。

【解析】（1）由BD是⊙O的切線得出∠DBA=90°，推出CH∥BD，證△AEC∽△AFD，得出比例式即可。

（2）證△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，推出BF=DF，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質得出CF=DF=BF即可。

（3）求出EF=FC，求出∠G=∠FAG，推出AF=FG，求出AB=BG，連接OC，BC，求出∠FCB=∠CAB推出CG是⊙O切線，由切割線定理（或△AGC∽△CGB）得出（2+FG）²=BG×AG=2BG²，在Rt△BFG中，由勾股定理得出BG²=FG²﹣BF²，推出FG²﹣4FG﹣12=0，求出FG即可，從而由勾股定理求得AB=BG

的長，從而得到⊙O的半徑r。