Question

（2013•青銅峽市模擬）如圖，直線y=x+m和拋物線y=x²+bx+c都經(jīng)過點A（1，0），B（3，2）．
（1）求m的值和拋物線的解析式；
（2）求拋物線的對稱軸和頂點坐標(biāo)；
（3）若此拋物線與y軸交于點C，點P是x軸上的一個動點，當(dāng)點P到C、B兩點的距離之和最小時，求出點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）分別把點A（1，0），B（3，2）代入直線y=x+m和拋物線y=x²+bx+c，利用待定系數(shù)法即可求得m的值和拋物線的解析式；
（2）將（1）中所求的拋物線的解析式利用配方法轉(zhuǎn)化為頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出拋物線的對稱軸和頂點坐標(biāo)；
（3）根據(jù)拋物線的解析式求出C點的坐標(biāo)，作C關(guān)于x軸的對稱點C′，連接C′B，與x軸的交點即為所求的P點，運用待定系數(shù)法求出直線C′B的解析式，進(jìn)而求出P點的坐標(biāo)．

解答：解：（1）把點A（1，0），B（3，2）分別代入直線y=x+m和拋物線y=x²+bx+c得：
0=1+m，

0=1+b+c  2=9+3b+c

，
解得m=-1，

b=-3 c=2

，
即m=-1，拋物線的解析式為y=x²-3x+2；

（2）∵y=x²-3x+2=（x-

3

2

）²-

1

4

，
∴拋物線的對稱軸是：x=

3

2

，頂點坐標(biāo)是（

3

2

，-

1

4

）；

（3）∵y=x²-3x+2，
∴當(dāng)x=0時，y=2，即C點坐標(biāo)為（0，2），
作點C關(guān)于x軸的對稱點C′（0，-2），連接C′B，點P即為直線C′B與x軸的交點．
設(shè)直線C′B的解析式為：y=kx-2，
將B（3，2）代入，得3k-2=2，
解得k=

4

3

，
∴直線C′B的解析式為y=

4

3

x-2，
當(dāng)y=0時，x=

3

2

，
∴P點坐標(biāo)為：P（

3

2

，0）．

點評：此題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式的確定，二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，軸對稱的性質(zhì)等知識，難度不大，（3）小題中確定點P的位置是解題的關(guān)鍵．