Question

6．已知：一次函數(shù)y=-2x+10的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象相交于A，B兩點(diǎn)（A在B的右側(cè)）．直線OA與此反比例函數(shù)圖象的另一支交于另一點(diǎn)C，連接BC交y軸于點(diǎn)D．$\frac{BC}{BD}$=$\frac{5}{2}$，△ABC的面積=10．

Answer 1

分析 過點(diǎn)B作BM⊥y軸于M，過點(diǎn)C作CN⊥y軸于N，連接AD，如圖，由$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{2}{5}$可知，要求△ABC的面積，只需求△ABD的面積，只需求出點(diǎn)A、B、D、F的坐標(biāo)．易得$\frac{BM}{CN}$=$\frac{2}{3}$，可設(shè)BM=2x，就用含有x和k的代數(shù)式表示點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后代入直線y=-2x+10就可解決問題．

解答 解：過點(diǎn)B作BM⊥y軸于M，過點(diǎn)C作CN⊥y軸于N，連接AD，如圖，
則有BM∥CN，
∴△BMD∽△CND，
∴$\frac{BM}{CN}$=$\frac{BD}{CD}$．
∵$\frac{BC}{BD}$=$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{BM}{CN}$=$\frac{BD}{CD}$=$\frac{2}{3}$．
設(shè)BM=2x，則CN=3x，
∴點(diǎn)B（2x，$\frac{k}{2x}$），點(diǎn)C（-3x，-$\frac{k}{3x}$）．
根據(jù)對(duì)稱性可得點(diǎn)A（3x，$\frac{k}{3x}$）．
∵點(diǎn)A、B在直線y=-2x+10上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{k}{3x}=-2×3x+10}\\{\frac{k}{2x}=-2×2x+10}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{k=12}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)A（3，4），點(diǎn)B（2，6），點(diǎn)C（-3，-4）．
設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，
則有$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=6}\\{-3m+n=-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=2x+2．
∵點(diǎn)D是直線BC與y軸的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)D（0，2）．
∵點(diǎn)F是直線AB與y軸的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)F（0，10），
∴S_△ABD=S_△ADF-S_△BDF
=$\frac{1}{2}$×（10-2）×3-$\frac{1}{2}$×（10-2）×2=4．
∵$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{2}{5}$，
∴S_△ABC=$\frac{5}{2}$S_△ABD=$\frac{5}{2}$×4=10．
故答案為10．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象的交點(diǎn)、運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)、直線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等高三角形的面積比等于底的比等知識(shí)，用含有x和k的代數(shù)式表示點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，代入直線y=-2x+10求出A、B的坐標(biāo)，是解決本題的關(guān)鍵．