Question

已知△ABC內(nèi)接于半徑為1的⊙O，AB=

3

，AC=

2

，則BC邊的長為

 

．

Answer 1

考點：圓周角定理,垂徑定理,解直角三角形

專題：計算題

分析：如圖所示，分兩種情況考慮：如圖1，過O作OM⊥AC，ON⊥AB，連接OA，利用垂徑定理得到M、N分別為AC、AB的中點，求出AM與AN的長，利用銳角三角函數(shù)定義求出∠OAM與∠OAN的度數(shù)，進(jìn)而確定出∠BAC的度數(shù)，利用余弦定理即可求出BC的長．

解答：解：如圖所示，分兩種情況考慮：
如圖1，過O作OM⊥AC，ON⊥AB，連接OA，
∴M、N分別為AC、AB的中點，即AM=CM=

1

2

AC=

2

2

，AN=BN=

1

2

AB=

3

2

，
在Rt△AOM和Rt△AON中，
cos∠OAM=

AM

OA

=

2

2

，cos∠OAN=

AN

OA

=

3

2

，
∴∠OAM=45°，∠OAN=30°，
∴∠BAC=15°，
如圖2所示，同理得到∠BAC=75°，
由cos15°=cos（45°-30°）=

6 + 2

4

，cos75°=

6 - 2

4

，
在△ABC中，利用余弦定理得：BC²=AC²+AB²-2AC•ABcos∠BAC=2+3-2×

6

×

6 + 2

4

=2-

3

，
或BC²=AC²+AB²-2AC•ABcos∠BAC=2+3-2×

6

×

6 - 2

4

=2+

3

，
解得：BC=

2± 3

．
故答案為：

2± 3

點評：此題考查了垂徑定理，熟練掌握垂徑定理是解本題的關(guān)鍵．