Question

已知直角梯形紙片OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖1所示，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O（0，0），A（10，0），B（8，2），C（0，2），點(diǎn)T在線段OA上（不與線段點(diǎn)重合），將紙片沿過(guò)T點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)A落在射線AB上（記為點(diǎn)A'），折痕TP與射線AB交于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)T的橫坐標(biāo)為t，折疊后紙片重疊部分（圖2中的陰影部分）的面積為S；
（1）直接寫(xiě)出∠OAB的度數(shù)；
（2）當(dāng)紙片重疊部分的圖形是四邊形時(shí)，直接寫(xiě)出t的取值范圍；
（3）求S關(guān)于t的解析式及S的最大值．

Answer 1

解：（1）∵A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（10，0）和B（8，2），
∴tan∠OAB==，
∴∠OAB=60°，
（2）當(dāng)點(diǎn)A'在線段AB的延長(zhǎng)線，且點(diǎn)P在線段AB（不與B重合）上時(shí)， 紙片重疊部分的圖形是四邊形（如圖①，其中E是TA'與CB的交點(diǎn)），
當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)，AT=2AB=8，點(diǎn)T的坐標(biāo)是（2，0）， 又由（1）中求得當(dāng)A'與B重合時(shí)，T的坐標(biāo)是（6，0），
所以當(dāng)紙片重疊部分的圖形是四邊形時(shí)，2＜t＜6；
（3）S存在最大值．
①當(dāng)6≤t＜10時(shí)，S=×A'P·TP=×（10﹣t）（10﹣t）=（10﹣t）²，
在對(duì)稱軸t=10的左邊，S的值隨著t的增大而減小，
∴當(dāng)t=6時(shí)，S的值最大是2；
②當(dāng)2＜t＜6時(shí)，由圖①，重疊部分的面積S=S_△A'TP﹣S_△A'EB，
∵△A'EB的高是A'Bsin60°，
∴S=（10﹣t）²﹣（10﹣t﹣4）²×，
=（﹣t²+4t+28），
=﹣（t﹣2）²+4，
當(dāng)t=2時(shí)，S的值最大是4；