Question

如圖，拋物線過x軸上兩點(diǎn)A(9,0),C(-3,0),且與y軸交于點(diǎn)B(0,-12).

（1）求拋物線的解析式；

（2）若動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個單位沿射線AC方向運(yùn)動；同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個單位沿射線BA方向運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C處時，兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動.問當(dāng)t為何值時，△APQ∽△AOB？

（3）若M為線段AB上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN平行于y軸交拋物線于點(diǎn)N．

①是否存在這樣的點(diǎn)M，使得四邊形OMNB恰為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

②當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到何處時，四邊形CBNA的面積最大？求出此時點(diǎn)M的坐標(biāo)及四邊形CBNA面積的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）①不存在；②當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到（，－6）時，四邊形CBNA的面積最大，四邊形CBNA面積的最大值為．

【解析】

試題分析：（1）應(yīng)用待定系數(shù)法，設(shè)交點(diǎn)式求解；

（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可；

（3）①由MN＝OB＝12列式，根據(jù)一元二次方程根的判別式小于0得出不存在這樣的點(diǎn)M，使得四邊形OMNB恰為平行四邊形結(jié)論；②求出面積關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式，應(yīng)用二次函數(shù)最值原理求解即可.

試題解析：（1）因拋物線過x軸上兩點(diǎn)A(9,0),C(-3,0)，故設(shè)拋物線解析式為：.

又∵B(0,-12)? ∴ ，解得a=。

∴拋物線的解析式為.

（2）∵OA=9，OB=12，∴AB=15.

∵點(diǎn)P的速度是每秒2個單位，點(diǎn)Q的速度是每秒1個單位，∴AP＝2t，AQ＝15－t.

又∵AC=12，∴0≤t≤6.

∵△APQ∽△AOB，∴，即，解得.

∴當(dāng)時，△APQ∽△AOB.

（3）易求直線AB的函數(shù)關(guān)系式為．

設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，則M（x，），N（x，）．

①若四邊形OMNB為平行四邊形，則MN＝OB＝12

∴，即x2－9x＋27＝0.

∵△＜0，∴此方程無實數(shù)根.

∴不存在這樣的點(diǎn)M，使得四邊形OMNB恰為平行四邊形．

②∵S四邊形CBNA=S△ACB+S△ABN=72+ S△ABN

∵S△AOB＝54，S△OBN＝6x，S△OAN＝·9·＝－2x2＋12x＋54

∴S△ABN＝S△OBN＋S△OAN－S△AOB＝6x＋(－2x2＋12x＋54)－54＝－2x2＋18x＝.

∴當(dāng)x＝時，S△ABN最大值＝，此時M（，－6）

S四邊形CBNA最大=．

考點(diǎn)：1.雙動點(diǎn)問題；2. 待定系數(shù)法的應(yīng)用；3.曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；4. 相似三角形的性質(zhì)；5. 平行四邊形的判定；6. 一元二次方程根的判別式；7. 二次函數(shù)最值.