Question

．已知平面直角坐標(biāo)系xOy中, 拋物線(xiàn)與直線(xiàn)的一個(gè)公共點(diǎn)為.
（1）求此拋物線(xiàn)和直線(xiàn)的解析式；
（2）若點(diǎn)P在線(xiàn)段OA上，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線(xiàn)交（1）中拋物線(xiàn)于點(diǎn)Q，求線(xiàn)段PQ長(zhǎng)度的最大值；
（3）記（1）中拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為M，點(diǎn)N在此拋物線(xiàn)上，若四邊形AOMN恰好是梯形，求點(diǎn)N的坐標(biāo)及梯形AOMN的面積.

Answer 1

解：（1）由題意，可得及，解得，
所以，拋物線(xiàn)的解析式為，直線(xiàn)的解析式為……………………2分
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，則
       
所以，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)度取得最大值為4.………………………………4分
（3）易知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-1）.過(guò)點(diǎn)M作直線(xiàn)OA的平行線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)N，如圖所示，四邊形AOMN為梯形.直線(xiàn)MN可看成是由直線(xiàn)OA向下平移b個(gè)單位得到，所以直線(xiàn)MN的方程為.因?yàn)辄c(diǎn)M在直線(xiàn)上，解得b =3,即直線(xiàn)MN的方程為，將其代入，可得

即   
解得 ，
易得 ，
所以，直線(xiàn)MN與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3,3）.  …………5分
如圖，分別過(guò)點(diǎn)M、N作y軸的平行線(xiàn)交直線(xiàn)OA于點(diǎn)G、H，

顯然四邊形MNHG是平行四邊形.可得點(diǎn)G（1,2），H（3,6）.



所以，梯形AOMN的面積. ……………………7分

解析