Question

13．如圖，已知C在以AB為直徑的半圓⊙O上一點，I是△ABC的內心，AI、BI的延長線分別與半圓⊙O交于點D、E，AB=6．則DE的長為3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 連接兩個半徑OE和OD，根據內角可知：AI、BI是△ABC的內角平分線，即圓周角相等，則所對的弧相等；因為$\widehat{ACB}$是一個半圓，即$\widehat{AE}$、$\widehat{EC}$、$\widehat{CD}$、$\widehat{BD}$組成一個半圓，所以∠EOD=90°，△EOD是等腰直角三角形，因此可以利用勾股定理求DE的長．

解答 解：連接OE、OD，
∵I是△ABC的內心，
∴AI、BI分別平分∠CAB、∠ABC，
∴∠CAD=∠BAD，∠ABE=∠CBE，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{EC}$，$\widehat{CD}$=$\widehat{BD}$，
∵$\widehat{ACB}$是一個半圓，
∴∠EOD=180°×$\frac{1}{2}$=90°，
∵直徑AB=6，
∴OE=OD=3，
由勾股定理得：DE=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．
故答案為：3$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了三角形的內切圓的圓心的性質，內心與三角形各頂點的連線分別是各角的平分線；同時，做好本題還要掌握圓有關的性質：同弧或等弧所對的圓周角相等，反之也成立，即圓周角相等則所對的弧相等．