Question

4．如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF，則下列結論：
①DE=DF；②AD平分∠BAC；③AE=AD；④AC-AB=2BE中
正確的是①②④．

Answer 1

分析 利用“HL”證明Rt△BDE和Rt△CDF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得DE=DF，再根據(jù)到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上判斷出AD平分∠BAC，然后利用“HL”證明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AE=AF，再根據(jù)圖形表示出表示出AE、AF，再整理即可得到AC-AB=2BE．

解答 解：在Rt△BDE和Rt△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE=DF，故①正確；
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC，故②正確；
在Rt△ADE和Rt△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF，
∴AB+BE=AC-FC，
∴AC-AB=BE+FC=2BE，
即AC-AB=2BE，故④正確；
由垂線段最短可得AE＜AD，故③錯誤，
綜上所述，正確的是①②④．
故答案為：①②④．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質，到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上，熟練掌握三角形全等的判定方法并準確識圖是解題的關鍵．