Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（2，3），點B在x軸的負半軸上，△ABO的面積是3．
（1）求點B的坐標；
（2）求直線AB的解析式；
（3）在線段OB的垂直平分線m上是否存在點M，使△AOM得周長最短？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，說明理由．
（4）過點A作直線AN與坐標軸交于點N，且使AN=OA，求△ABN的面積．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出點B的坐標，表示出BO的長度，作AE⊥x軸于點額E，作AH⊥y軸于點H，根據(jù)A點的坐標求出AE的值，利用三角形的面積公式就可以求出就可以求出BO的值，從而求出B點的坐標．
（2）運用待定系數(shù)法根據(jù)A、B的坐標就可以求出直線AB的解析式．
（3）作出OB的垂直平分線m交OB于點F，與AB的交點就是M點，由垂直平分線的意義就可以求出M的橫坐標，再代入AB的解析式就可以求出M的坐標．
（4）當AN交x軸于點N，交y軸于點N′是由全等三角形就可以求出ON或ON′的長由點A的坐標就可以求出△ABN的面積．

解答：解：（1）設(shè)B（a，0），作AE⊥x軸于點E，作AH⊥y軸于點H，
∴BO=-a，
∵A（2，3），
∴AE=3，AH=2，
∴

-3a

2

=3，
∴a=-2，
∴B（-2，0）

（2）設(shè)AB的解析式為：y=kx+b，由題意，得

0=-2k+b 3=2k+b

，解得：

k= 3 4 b= 3 2

，
∴拋物線的解析式為：y=

3

4

x+

3

2

．

（3）存在點M，M（-1，

3

4

）．

（4）如圖，當AN交x軸于點N時，
∴△AEO≌△AEN，
∴OE=EN=2，
∴BN=6，
∴S_△ABN=

6×3

2

=9，
當AN′交y軸于點N′時，可得OH=HN′=3，
∴ON′=6，
在直線AB上，當x=0時，y=

3

2

，
∴OG=

3

2

，
∴GN′=

9

2

，
∴S_△ABN′=

9 2 ×2

2

+

9 2 ×2

2

=9，
∴△ABN的面積為：9

點評：本題是一道一次函數(shù)的綜合試題，考查了坐標與圖形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角形的面積，軸對稱中的最短路線問題．