Question

【題目】我們知道，對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數學等式．例如圖可以得到（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．請解答下列問題：

（1）寫出圖2所表示的數學等式；

（2）利用（1）中所得到的結論，解決下面的問題：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值；

（3）小明同學用3張邊長為a的正方形，4張邊長為b的正方形，7張邊長分別為a、b的長方形紙片拼出了一個長方形，那么該長方形較長一邊的邊長為多少？

（4）小明同學又用x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張邊長分別為a、b的長方形紙片拼出了一個面積為（5a+7b）（4a+9b）長方形，那么x+y+z=　 　．

Answer 1

【答案】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）45；（3）3a+4b ；（4）156

【解析】

（1）直接求得正方形的面積，然后再根據正方形的面積=各矩形的面積之和求解即可；

（2）將a+b+c=11，ab+bc+ac=38代入（1）中得到的關系式，然后進行計算即可；

（3）先列出長方形的面積的代數式，然后分解代數式，可得到矩形的兩邊長；

（4）長方形的面積xa2+yb2+zab=（5a+7b）（4a+9b），然后運算多項式乘多項式法則求得（5a+7b）（4a+9b）的結果，從而得到x、y、z的值．

解：（1）正方形的面積可表示為=（a+b+c）2；
正方形的面積=各個矩形的面積之和=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，
所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．

（2）a2+b2+c2=（a+b+c）2-2ab-2ac-2bc，

=112-2×38，

=45；

（3）長方形的面積=3a2+7ab+4b2=（3a+4b）（a+b）．
所以長方形的邊長為3a+4b和a+b，
所以較長的一邊長為3a+4b；

（4）∵長方形的面積=xa2+yb2+zab=（5a+7b）（4a+9b）

= 20a2+63b2+73ab，

∴x=20，y=63，z=73．

∴x+y+z=20+63+73=156．

故答案為：156．