Question

已知在平面直角系xoy中，已知直線AB：y=-

3

3

x+1交x軸于點A，交y軸于點B，將直線AB繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°交y軸于點C，
（1）求直線AC的解析式；
（2）經(jīng)過點A，C的拋物線y=

4

3

x2+bx+c上是否存在點P，使得△PAB的面積等于△PBC的面積？若存在求出P點的坐標；
（3）在（2）的拋物線上是否存在三點D、E、F，使得△DEF≌△ABC？若存在，直接寫出點D、E、F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)直線AB與x軸、y軸的交點求得OB、OA以及∠BAO的度數(shù)，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求得OC的值；最后由待定系數(shù)法求得直線AC的解析式；
（2）根據(jù)已知條件“△PAB的面積等于△PBC的面積”知點P是∠CBA的角平分線與拋物線的交點；
（3）由（1）推知△ABC是等邊三角形，因為等邊三角形是軸對稱圖形；然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)知△DEF是軸對稱圖形，由點D、E、F在拋物線上，所以點D在該拋物線的對稱軸上、點E、F關(guān)于對稱軸對稱；設(shè)D（x₁，y₁）、E（x₂，y₂）、F（x₃，y₃），根據(jù)全等三角形的對應邊相等可以求得DE=AB=2，EF=BC=2，DF=AC=2據(jù)此可以求得點D、E、F的坐標．

解答：解：（1）∵直線AB：y=-

3

3

x+1交x軸于點A，交y軸于點B，
∴A（

3

，0），B（0，1），
∴OA=

3

，OB=1，
∴tan∠BAO=

OB

OA

=

3

3

，
∴∠BAO=30°，
∴將直線AB繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°后，∠OAC=30°，
∴tan∠OAC=

OC

OA

=

3

3

，
∴OC=1，
∴C（0，-1）；
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），則

0= 3 k+b 1=b

，
解得，

k= 3 3 b=-1

，
∴直線AC的解析式為：y=

3

3

x-1；

（2）由（1）知，A（

3

，0），C（0，-1），
則

0= 4 3 ×( 3 )2+ 3 b+c -1=c

，
解得，

b=- 3 c=-1

，
∴該拋物線的解析式為：y=

4

3

x2-

3

x-1；
又∵△PAB的面積等于△PBC的面積，
∴點P到直線AB的距離與點P到直線BC的距離相等，即點P在∠CBA的角平分線上或在點P在∠CBA的外角角平分線上．
①當點P在∠CBA的角平分線上時，設(shè)P₁（x₁、y₁）（x₁＞0，y₁＜0）；
∵直線PB的解析式為y=-

3

x+1，
∴y₁=-

3

x₁+1，①
又∵點P在拋物線y=

4

3

x2-

3

x-1上，
∴y₁=

4

3

x₁²-

3

x₁-1，②
由①②解得，

x1= 6 2 y1=1- 3 2 2

，
∴P（

6

2

、1-

3 2

2

）；
②當點P在∠CBA的外角角平分線上時，設(shè)P₂（x₂、y₂）（x₂＞0，y₂＞0）．
∵直線PB的解析式為y=

3

3

x+1，
∴y₂=

3

3

x₂+1，①
又∵點P在拋物線y=

4

3

x2-

3

x-1上，
∴y₂=

4

3

x₂²-

3

x₂-1，②
由①②解得，

x2= 3 +3 2 y2= 3 +3 2

，
∴P₂（

3 +3

2

、

3 +3

2

）；
綜上所述，點P的坐標是（

6

2

、1-

3 2

2

）或（

3 +3

2

、

3 +3

2

）；

（3）由（1）知，A（

3

，0），B（0，1），
∴AB=BC=AC=2，
∴△ABC是正三角形，△ABC的點B、C關(guān)于對稱軸x軸對稱；
又∵△DEF≌△ABC，
∴△DEF的點E、F關(guān)于對稱軸對稱，DE=AB=2，EF=BC=2，DF=AC=2；
∴點D是拋物線y=

4

3

x2-

3

x-1的頂點，
∴x_D=-

- 3

2× 4 3

=

3 3

8

，y_D=

4× 4 3 ×(-1)-( 3 )2

4× 4 3

=-

25

16

，則D（

3 3

8

，-

25

16

）；
∴

(xD-xE)2+(yD-yE)2 =2 yE= 4 3 xE2- 3 xE-1

，
解得，x_E=

3 3

2

-1，y_E=-

25

16

-

3

，則E（

3 3

2

-1，-

25

16

-

3

）；
又∵點E、F關(guān)于對稱軸對稱，
∴F（

3 3

2

+1，-

25

16

-

3

）．
綜上所述，D（

3 3

8

，-

25

16

）、E（

3 3

2

-1，-

25

16

-

3

）、F（

3 3

2

+1，-

25

16

-

3

）．

點評：本題考查了二次函數(shù)綜合題．本題涉及到的知識點有待定系數(shù)求一次函數(shù)的解析式、直線與拋物線的交點問題以及全等三角形的判定與性質(zhì)．