Question

12．如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)A（-3，0），點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，線段CD在直線y=4上移動(dòng)，且CD=6．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)和當(dāng)四邊形ABCD是菱形時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若四邊形ABCD各內(nèi)角的平分線相交形成四邊形EFGH．求證：四邊形EFGH是矩形；
（3）在（2）的條件下，探究運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形EFGH有可能為正方形嗎？若有可能，求出此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)，若不可能，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)關(guān)于y軸的對(duì)稱的點(diǎn)的特點(diǎn)即可得到B（3，0），根據(jù)四邊形的性質(zhì)得到AD=AB=6，設(shè)D（x，4），過(guò)D作DM⊥AB于M，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ADC+∠DAB=180°，根據(jù)角平分線的定義得到∠ADF=$\frac{1}{2}$∠ADC，∠DAF=$\frac{1}{2}$∠DAB，求得∠EFG=90°，同理∠FEH=∠EHG=∠HGF=90°，于是得到四邊形EFGH是矩形；
（3）運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形EFGH有可能為正方形，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形ABCD是矩形時(shí)，四邊形EFGH為正方形，如圖2，根據(jù)角平分線的定義得到∠1=∠2=∠3=∠4=45°，推出△ADF，△AOE，△DNG是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AF=DF，AE=DG，等量代換得到FE=FG，推出四邊形EFGH是正方形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（-3，0），點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，
∴B（3，0），
當(dāng)四邊形ABCD是菱形時(shí)，AD=AB=6，
設(shè)D（x，4），
如圖1，過(guò)D作DM⊥AB于M，
∴AM²+DM²=AD²，即（x+3）²+4²=6²，
解得：x=-3±2$\sqrt{5}$，
∴當(dāng)四邊形ABCD是菱形時(shí)，D（-3+2$\sqrt{5}$，4），或（-3-2$\sqrt{5}$，4）；

（2）∵AB∥CD，
∴∠ADC+∠DAB=180°，
∵DG，AE分別平分∠CDA，∠DAB，
∴∠ADF=$\frac{1}{2}$∠ADC，∠DAF=$\frac{1}{2}$∠DAB，
∴∠ADF+DAF=$\frac{1}{2}$（∠ADC+∠DAB）=90°，
∴∠AFD=90°，
∴∠EFG=90°，同理∠FEH=∠EHG=∠HGF=90°，
∴四邊形EFGH是矩形；

（3）運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形EFGH有可能為正方形，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形ABCD是矩形時(shí)，四邊形EFGH為正方形，
如圖2，∵AE，DG分別平分∠DAB，∠ADC，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=45°，
∴△ADF，△AOE，△DNG是等腰直角三角形，
∴AF=DF，AE=DG，
∴FE=FG，
∵四邊形EFGH是矩形，
∴四邊形EFGH是正方形，
過(guò)F作FP⊥AD與P，延長(zhǎng)PF交EG于Q，則PQ⊥EG，
∴PF=$\frac{1}{2}$AD=2，F(xiàn)Q=PQ-PF═OA-PF=1，
∴F（-1，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的特點(diǎn)，熟練掌握特殊四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．