Question

如圖，已知△ABC中，AB=AC，E，D，F(xiàn)分別是邊AB，BC，AC的中點(diǎn)．
（1）求證：四邊形AEDF是菱形；
（2）若∠B=30°，BC=6，求四邊形AEDF的周長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的判定與性質(zhì),三角形中位線定理

專題：

分析：（1）首先根據(jù)三角形中位線定理可得DE∥AC，DF∥AB，ED=

1

2

AC，DF=

1

2

AB，進(jìn)而可判定四邊形AEDF是平行四邊形，然后證明ED=DF即可；
（2）過E作EM⊥BD，根據(jù)題意可得BD長(zhǎng)，然后再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BM=

1

2

BD=1.5，然后再利用勾股定理可得ED長(zhǎng)，進(jìn)而可得菱形周長(zhǎng)．

解答：（1）證明：∵E，D，F(xiàn)分別是邊AB，BC，AC的中點(diǎn)，
∴DE∥AC，DF∥AB，ED=

1

2

AC，DF=

1

2

AB，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，
∵AB=AC，
∴ED=DF，
∴四邊形AEDF是菱形；

（2）解：過E作EM⊥BD，
∵E為AB中點(diǎn)，
∴AE=EB，
∵四邊形AEDF是菱形，
∴AE=ED=EB，
∵BC=6，D是BC中點(diǎn)，
∴DB=3，
∵EM⊥BD，
∴BM=

1

2

BD=1.5，
∵∠B=30°，
∴EM=

1

2

BE，
∵EM²+MB²=EB²，
∴（

1

2

EB）²+MB²=EB²，
∴BE=

3

，
∴ED=

3

，
∴四邊形AEDF的周長(zhǎng)為4

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握鄰邊相等的平行四邊形是菱形，菱形四邊相等．