Question

在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，交AC于點E．
（1）如圖①，當∠A為銳角時，連接BE，試判斷∠BAC與∠CBE的數量關系，并證明你的結論．
（2）圖①中的邊AB不動，邊AC繞點A按逆時針旋轉，當∠BAC為鈍角時，如圖②，CA的延長線與⊙O相交于點E，請問：∠BAC與∠CBE的關系是否與（1）中你得出的關系相同？若相同，請加以證明；若不同，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接AD，根據直徑所對的圓周角是直角，得AD⊥BC，又由AB=AC，根據等腰三角形的三線合一，得AD平分∠BAC，結合圓周角定理，即可得∠BAC=2∠CBE；
（2）連接AD．根據等腰三角形的三線合一和圓內接四邊形的性質，即可證明∠BAC=2∠CBE．

解答：解：（1）∠BAC與∠CBE的關系是：∠BAC=2∠CBE．
理由如下：連接AD，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC．
又∵AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD=

1

2

∠BAC．
又∵∠CAD=∠CBE，
∴∠BAC=2∠CBE．

（2）相同．
理由如下：連接AD．
∵AB為直徑，
∴AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD=

1

2

∠BAC，
∵∠CAD+∠DAE=180°，∠CBE+∠DAE=180°，
∴∠CAD=∠CBE，
∴∠BAC=2∠CBE．

點評：此題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質以及圓的內接四邊形的性質．此題難度不大，解題的關鍵是準確作出輔助線，掌握數形結合思想的應用．