Question

17．已知AB、CD是⊙O的兩條弦，直線AB、CD互相垂直，垂足為E，連接AC，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC，垂足為F，直線BF交直線CD于點(diǎn)M．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在⊙O內(nèi)時(shí)，連接AD，AM，BD，求證：AD=AM；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在⊙O外時(shí)，連接AD，AM，求證：AD=AM；
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在⊙O外時(shí)，∠ABF的平分線與AC交于點(diǎn)H，若tan∠C=$\frac{4}{3}$，求tan∠ABH的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂直的定義和垂直平分線的判定好小子即可求解；
（2）如圖2，連結(jié)BD，先證明四邊形ABDC是圓內(nèi)接四邊形，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)即可求解；
（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)H作HN⊥AB，垂足為N，在Rt△ABF中和在Rt△BNH中，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解．

解答 （1）證明：∵AB⊥CD，BF⊥AC，
∴∠BEM=∠BFA=90°，
∴∠EBM+∠BME=90°，∠ABF+∠BAF=90°，
∴∠BME=∠BAC，
∴∠BDM=∠BMD，
∴BD=BM，
∵AB⊥CD，
∴AB是MD的垂直平分線，
∴AD=AM；
（2）證明：如圖2，連結(jié)BD，
∵AB⊥CD，BF⊥AC，
∴∠BEM=∠BFA=90°，
∵∠EBM=∠FBA，
∴∠BME=∠BAF，
∴四邊形ABDC是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠BDM=∠BAC，
∴∠BDM=∠BMD，
∴BD=BM，
∵AB⊥CD，
∴AB是MD的垂直平分線，
∴AD=AM；
（3）解：如圖3，過(guò)點(diǎn)H作HN⊥AB，垂足為N．
易知∠AHN=∠ABF=∠C，
在Rt△ANH中，設(shè)HN=3m，
∵tan∠AHN=tan∠C=$\frac{AN}{NH}$=$\frac{4}{3}$，
∴AN=4m，
∴AH=5m，
∵BH平分∠ABF，
∴HN=HF=3m，
∴AF=AH+HF=8m，
在Rt△ABF中，∵tan∠ABF=tan∠C=$\frac{AF}{BF}$=$\frac{4}{3}$，
∴BF=6m，
∴AB=10m，
∴BN=AB-AN=6m，
∴在Rt△BNH中，tan∠NBH=$\frac{NH}{BN}$=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠ABH=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的綜合，涉及了圓內(nèi)接四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)及垂直平分線的性質(zhì)，三角函數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是掌握數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用．