Question

2．如圖，拋物線y=x²-bx+c與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于B點(diǎn)，已知A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求△ABC的面積；
（3）若點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使△PAB的周長(zhǎng)最��？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)A和C關(guān)于x=2對(duì)稱即可求得C的坐標(biāo)，然后把A和C的坐標(biāo)代入拋物線解析式求得b和C的值，得到拋物線解析式；
（2）首先求得AC的長(zhǎng)，然后利用三角形面價(jià)公式求解；
（3）直線BC與對(duì)稱軸x=2的交點(diǎn)就是P，首先利用待定系數(shù)法求得BC的解析式，進(jìn)而求得P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）A（1，0）關(guān)于x=2的對(duì)稱點(diǎn)是（3，0），則C的坐標(biāo)是（3，0）．
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{9-3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
則拋物線的解析式是y=x²-4x+3；
（2）AC=3-1=2，
則S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•OB=$\frac{1}{2}$×2×3=3；
（3）C是A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，則BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是P．
設(shè)BC的解析式是y=kx+d，
則$\left\{\begin{array}{l}{d=3}\\{3k+d=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{d=3}\\{k=-1}\end{array}\right.$，
則直線BC的解析式是y=-x+3．
當(dāng)x=2時(shí)，y=-2+3=1，
則P的坐標(biāo)是（2，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，正確理解P的位置是本題的關(guān)鍵．