Question

3．如圖，對稱軸為直線x=-1的拋物線y=x²+bx+c與x軸交點(diǎn)為A、B兩點(diǎn)．其中點(diǎn)A 的坐標(biāo)為（-3，0）
（1）求拋物線的解析式．
（2）設(shè)拋物線與y軸的交點(diǎn)為C，對稱軸與x軸交于D，拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對稱軸與A點(diǎn)坐標(biāo)可立即求出B點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)求出解析式；
（2）分類討論：①以C為等腰三角形的頂點(diǎn)；②以D為等腰三角形的頂點(diǎn)．

解答 解：（1）∵拋物線的對稱軸為x=-1，A（-3，0）為拋物線與x軸的交點(diǎn)，B為另一個(gè)交點(diǎn)，
∵B（1，0），
將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{1+b+c=0}\\{9-3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=x²+2x-3；
（2）∵D（-1，0），C（0，-3），
∴CD=$\sqrt{10}$，
①若DC=DP，如圖1，

此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（-1，$\sqrt{10}$）、（-1，$-\sqrt{10}$）；
②若CD=CP，如圖2，

此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（-1，-6）；
綜上所述，滿足要求的P點(diǎn)坐標(biāo)有：（-1，$\sqrt{10}$）、（-1，$-\sqrt{10}$）、（-1，-6）．

點(diǎn)評 本題考查了待定系數(shù)法二次函數(shù)解析式、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，是一道基礎(chǔ)題．第（2）問體現(xiàn)分類討論的思想，要注意考慮周全．