Question

如圖，△ABC內(nèi)接于圓O，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是圓O的直徑，BD交AC于點(diǎn)E，連接DC．
（1）求∠DBC的度數(shù)；
（2）若C為弧BD的中點(diǎn)，BC=6，EC=5，求AE的長．

Answer 1

分析：（1）利用圓周角定理、補(bǔ)角的定義求得弧CD所對的圓心角∠DOC=80°；然后根據(jù)”同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半“來求∠DBC的度數(shù)；
（2）根據(jù)圓心角、弧、弦間的關(guān)系和圓周角定理證得△BCD為等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理和圓的性質(zhì)求得OB=OD=BD=6

2

；然后在直角△EOC中，利用勾股定理求得OE=

7

；最后根據(jù)相交弦定理來求AE的長度．

解答：解：（1）∵∠A=50°，
∴∠BOC=2∠A=100°（同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半）．
∴∠COD=80°，
∴∠DBC=

1

2

∠DOC=40°，即∠DBC的度數(shù)是40°；

（2）∵BD是直徑，
∴∠BCD=90°．
又∵C為弧BD的中點(diǎn)，
∴BC=DC，
則在等腰直角△BCD中，BC=6，BD=6

2

，OC=OB=

1

2

BD=3

2

，
∴在直角△EOC中，EC=5，根據(jù)勾股定理知OE=

EC2-OC2

=

52-(3 2 )2

=

7

，
∴BE=OB+OE=3

2

+

7

，DE=OD-OE=3

2

-

7

，
∵AE•EC=DE•BE，
∴AE=

DE•BE

EC

=

(3 2 + 7 )(3 2 - 7 )

5

=

11

5

，即AE的長為

11

5

．

點(diǎn)評：本題考查了圓周角定理、圓心角、弧、弦間的關(guān)系等．解答（2）題時，也可以利用△ABE∽DCE的對應(yīng)邊成比例來求AE的長度．