Question

10．如圖所示，已知直線$y=\frac{1}{2}x$與雙曲線$y=\frac{k}{x}（k＞0）$交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為-2．
（1）求雙曲線的解析式；
（2）過原點(diǎn)O的另一條直線l在第一象限交$y=\frac{k}{x}（k＞0）$于點(diǎn)P （異于點(diǎn)A），直線PA交x軸于點(diǎn)M，若△AOM的面積等于12，求l的函數(shù)解析式．

Answer 1

分析 （1）將y=-2代入y=-2中求出x的值，即可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)B的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出雙曲線的解析式；
（2）設(shè)過原點(diǎn)O的另一條直線l的解析式為y=mx，由點(diǎn)B的坐標(biāo)可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)△AOM的面積等于12結(jié)合三角形的面積公式可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，由點(diǎn)A、M的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線AM的解析式，聯(lián)立直線AM與雙曲線的解析式得出關(guān)于x、y的方程組，解方程組即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再將點(diǎn)P坐標(biāo)帶入y=mx中求出m即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）將y=-2代入$y=\frac{1}{2}x$中，
得：-2=$\frac{1}{2}$x，解得：x=-4，
∴點(diǎn)B（-4，-2），
∴k=-4×（-2）=8，
∴雙曲線的解析式為y=$\frac{8}{x}$．
（2）依照題意畫出圖形，如圖所示．
設(shè)過原點(diǎn)O的另一條直線l的解析式為y=mx，
∵點(diǎn)B（-4，-2），
∴點(diǎn)A（4，2）．
∵S_△AOM=$\frac{1}{2}$OM•y_A=12，
∴OM=12，
∴點(diǎn)M（12，0）．
設(shè)直線AM的解析式為y=ax+b，
則有$\left\{\begin{array}{l}{2=4a+b}\\{0=12a+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線AM的解析式為y=-$\frac{1}{4}$x+3．
聯(lián)立直線AM和雙曲線解析式得：$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{8}{x}\\ y=-\frac{1}{4}x+3\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$（舍去）或$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)P（8，1）．
將點(diǎn)P（8，1）代入y=mx中，
得：1=8m，解得：m=$\frac{1}{8}$，
∴直線l的函數(shù)解析式為y=$\frac{1}{8}$x．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是：（1）求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．本題屬于中檔題，難度不大，但解題過程較繁瑣，解決該題型題目時，聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，通過求方程組找出交點(diǎn)坐標(biāo)是關(guān)鍵．