Question

如圖，拋物線y=ax²+bx-4a經(jīng)過(guò)A（-1，0）、C（0，4）兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B。

（1）求拋物線的解析式；
（2）已知點(diǎn)D（m，m+1）在第一象限的拋物線上，求點(diǎn)D關(guān)于直線BC對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，連接BD，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且∠DBP=45°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax2+bx-4a經(jīng)過(guò)A（-1，0）、C（0，4）兩點(diǎn)， ∴，解得， ∴拋物線的解析式為y=-x2+3x+4；
（2）如圖，∵點(diǎn)D（m，m+1）在拋物線上， ∴m+1=-m2+3m+4，即m2-2m-3=0， ∴m=-1或m=3， ∵點(diǎn)D在第一象限， ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，4）， 由（1）知OC=OB， ∴∠CBA=45°， 設(shè)點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E ∵C（0，4），D（3，4）， ∴CD∥AB，且CD=3， ∴∠ECB=∠DCB=45°， ∴E點(diǎn)在y軸上，且CE=CD=3， ∴OE=1， ∴E（0，1），即點(diǎn)D關(guān)于直線BC對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1）；
（3）如圖，作PF⊥AB于F，DE⊥BC于點(diǎn)E， 由（1）有：DB=OC=4， ∴∠OBC=45°， ∵∠DBP=45°， ∴∠CBD=∠PBA， ∵C（0，4），D（3，4）， ∴CD∥OB且CD=3， ∴∠DCE=∠CBO=45°， ∴， ∵OB=OC=4， ∴， ∴BE=BC-CE=， ∴tan∠PBF=tan∠CBD=， 設(shè)PF=3t，則BF=5t， ∴OF=5t-4， ∴P（-5t+4，3t）， ∵P點(diǎn)在拋物線上， ∴3t=-（-5t+4）2+3（-5t+4）+4， ∴t=0（舍去）或， ∴。