Question

5．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB為直徑的半圓O交BC邊于點D，點E在BC邊上，且AE=AB，連結AE交半圓O于點F，連結BF．
（1）求證：∠C=∠EBF．
（2）若AF=4，$\frac{AB}{AC}=\frac{2}{3}$，求半圓O的直徑．

Answer 1

分析 （1）根據余角的性質得到∠CAE=∠ABF，根據等腰三角形的性質得到∠ABE=∠AEB，于是得到∠C=∠EBF；
（2）解根據相似三角形的性質得到$\frac{EF}{BF}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{2}{3}$，設EF=2x，BF=3x，求得AB=AE=4+2x，根據勾股定理即可得到結論．

解答 （1）證明：∵∠BAC=90°，
∴∠CAE+∠BAF=90°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AFB=90°，
∴∠FAB+∠ABF=90°，
∴∠CAE=∠ABF，
∵AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB，
∵∠C=∠AEB-∠CAE，∠EBF=∠ABE-∠ABF，
∴∠C=∠EBF；
（2）解：∵∠C=∠EBF，∠BAC=∠EFB=90°，
∴△BAC∽△EFB，
∴$\frac{EF}{BF}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{2}{3}$，
設EF=2x，BF=3x，
∴AB=AE=4+2x，
∵AB²=AF²+BF²，
∴（4+2x）²=（3x）²+4²，
∴x=$\frac{16}{5}$，
∴AB=$\frac{52}{5}$，
∴半圓O的直徑是$\frac{52}{5}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，勾股定理，等腰三角形的性質，圓周角定理，掌握的識別圖形是解題的關鍵．