Question

如圖，⊙O的半徑為1，等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，0），∠CAB=90°，AC=AB，頂點(diǎn)A在⊙O上運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)點(diǎn)A在x軸上時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到x軸的負(fù)半軸上時(shí)，試判斷直線BC與⊙O位置關(guān)系，并說明理由；
（3）設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x，△ABC的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值與最小值；
（4）當(dāng)直線AB與⊙O相切時(shí)，求AB所在直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

解：（1）當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）時(shí)，AB=AC=-1，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，-1）或（1，1-）；
當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0）時(shí)，AB=AC=+1，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，+1）或（-1，--1）；

（2）直線BC與⊙O相切
過點(diǎn)O作OM⊥BC于點(diǎn)M，
∴∠OBM=∠BOM=45°，
∴OM=OB•sin45°=1
∴直線BC與⊙O相切；

（3）過點(diǎn)A作AE⊥OB于點(diǎn)E
在Rt△OAE中，AE²=OA²-OE²=1-x²，
在Rt△BAE中，AB²=AE²+BE²=（1-x²）+（-x）²=3-2x
∴S=AB•AC=AB²=（3-2x）=
其中-1≤x≤1，
當(dāng)x=-1時(shí)，S的最大值為，
當(dāng)x=1時(shí)，S的最小值為．

（4）①當(dāng)點(diǎn)A位于第一象限時(shí)（如右圖）：
連接OA，并過點(diǎn)A作AE⊥OB于點(diǎn)E
∵直線AB與⊙O相切，
∴∠OAB=90°，
又∵∠CAB=90°，
∴∠CAB+∠OAB=180°，
∴點(diǎn)O、A、C在同一條直線
∴∠AOB=∠C=45°，即∠CBO=90°，
在Rt△OAE中，OE=AE=，
點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，）
過A、B兩點(diǎn)的直線為y=-x+．

②當(dāng)點(diǎn)A位于第四象限時(shí)（如右圖）：
點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，-）
∵B的坐標(biāo)為（，0）
∴過A、B兩點(diǎn)的直線為y=x-．
分析：（1）中有兩種情況，即A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）或（-1，0），根據(jù)AB=AC，求出C點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）根據(jù)題意過點(diǎn)O作OM⊥BC于點(diǎn)M，求出OM的長，與半徑比較得出位置關(guān)系．
（3）過點(diǎn)A作AE⊥OB于點(diǎn)E，在Rt△OAE中求AE的長，然后再在Rt△BAE中求出AB的長，進(jìn)而求出面積的表達(dá)式，根據(jù)定義域確定最大最小值．
（4）相切時(shí)有兩種情況，在第一象限或者第四象限，連接OA，并過點(diǎn)A作AE⊥OB于點(diǎn)E，在Rt△OAE中求出OE，然后就能求出A點(diǎn)坐標(biāo)，AB所在直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式很容易就能求出．
點(diǎn)評(píng)：本題是一次函數(shù)與圓、三角形結(jié)合的題，用到了圓的性質(zhì)，圓與直線的關(guān)系以及三角形相似等知識(shí)，知識(shí)面比較廣，要求綜合能力比較高．