Question

5．如圖，在△ABC中，CA=CB，∠CAB=30°，⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且圓的直徑AD在線段AB上．
（1）試說(shuō)明CB是⊙O的切線；
（2）∠AOC的平分線OE交弧AC于點(diǎn)E，求證：四邊形AOCE是菱形；
（3）在（2）的條件下，設(shè)點(diǎn)M是線段AC上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接OM，當(dāng)$\frac{1}{2}$CM+OM的最小值為4$\sqrt{3}$時(shí)，求⊙O的半徑r的值．

Answer 1

分析 （1）首先連接OC，由在△ABC中，CA=CB，∠CAB=30°，易得∠ACB=120°，∠ACO=30°，繼而證得結(jié)論；
（2）由∠CAB=30°，易證得△AOE和△COE是等邊三角形，即可得AO=OC=CE=EA，繼而證得四邊形AOCE是菱形；
（3）首先由（2）易得O、E兩點(diǎn)關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)，然后連接MO，ME，則MO=ME，過(guò)M點(diǎn)作MF⊥OC，垂足為F，可得當(dāng)當(dāng)E、M、F三點(diǎn)共線時(shí)，$\frac{1}{2}$CM+OM有最小值，繼而求得答案．

解答 （1）證明：如圖1，連接OC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=30°，
又∵CA=CB，∠CAB=30°，
∴∠ACB=120°，
∴∠OCB=∠ACB-∠OCA=120°-30°=90°，
∴CB⊥CO，
即CB是⊙O的切線；

（2）證明：∵OA=OC，∠CAB=30°，
∴∠AOC=120°，
又∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE=∠COE=60°，
又∵OA=OE=OC，
∴△AOE和△COE都是等邊三角形，
∴AO=OC=CE=EA
∴四邊形AOCE是菱形；

（3）解：由（2）知：四邊形AOCE是菱形，
∴OE與AC互相垂直且平分，
∴O、E兩點(diǎn)關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)，
連接MO，ME，則MO=ME，
過(guò)M點(diǎn)作MF⊥OC，垂足為F，
在Rt△MFC中，∠MCF=30°，
∴MF=$\frac{1}{2}$CM，
∴$\frac{1}{2}$CM+OM=MF+ME≥EF，
即當(dāng)E、M、F三點(diǎn)共線時(shí)，$\frac{1}{2}$CM+OM有最小值，最小值是EF=4$\sqrt{3}$，
在Rt△OEF中，EF=OEsin∠EOF，
即4$\sqrt{3}$=r•$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴r=8．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于圓的綜合題．考查了切線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．